2019秋人教A版数学必修1同步练习含解析：3.2.1几类不同增长的函数模型

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1、A 级 基础巩固一、选择题1某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元) 与时间 x(年) 的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )Ayaxb Byax 2bx cCyae xb Dyaln x b解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是yax 2bx c.答案：B2甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点解析：由题图可知，甲到达终点用时短答案：D3在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中

2、的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01A.y2x2 By (x21)12Cylog 2x Dy (12)x 解析：经验证可知选项 B 正确答案：B4衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，则放进的新丸体积为 a，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为 Vae t ，已知新丸经过 50 天后，体积变为 a.若一个新丸体积变为 a，则需经过的天数为( )49 827A125 B100C75 D50解析：由已知得 aae 50，即 e50 .49 49 (23)2 所以 a a(e 50 )

3、ae 75 a，827 (23)3 32 所以 t75.答案：C5某学校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知该年 9 月份两食堂的营业额又相等，则该年 5 月份( )A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相等D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x.由题意，可得 m8am (1x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1m4a，乙食堂的营业额 y2m(1x) 4

4、，因为 y y ( m4a) 2m(m8a)16a 20，所以 y1y2，故该年m（m 8a） 21 25 月份甲食堂的营业额较高答案：A二、填空题6某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利 20%销售后仍可获得售价 25%的利润，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系是_ 解析：设新价为 b，则售价为 b(120%)因为原价为 a，所以进价为a(125%) 依题意，有 b(120%)a(125%) b(120%)25%.化简得b a，所以 yb20%x a20%x，即 y x(xN*)54 54 a4答案：y x(xN *

5、)a47某航空公司规定，乘客所携带行李的质量 x(kg)与运费 y(元) 由下图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为_解析：设 y kxb(k 0)，将点(30，330)、(40，630)代入得 y30x570，令 y0，得 x19，故乘客可免费携带行李的最大质量为 19 kg.答案：19 kg8“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t144lg中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出(1 N90)的字数则当 N40 时，t_(已知 lg 50.699，lg 30.477) 解析：当 N40 时，则 t144lg 144lg 144(

6、lg 52lg 3)(1 4090) 5936.72.答案：36.72三、解答题9.如图所示，已知边长为 8 m 的正方形钢板上一个角被锈蚀，其中 AE4 m，CD 6 m为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形BNPM，使点 P 在边 DE 上(1)设 MPx m，PNy m，将 y 表示成关于 x 的函数，并求其定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值解：(1)作 PQAF 于点 Q，所以 PQ(8y)m，EQ(x4)m.又EPQEDF，所以 ，即 .EQEF PQDF x 44 8 y2所以 y x10，12易知定义域为x|4x 8(2)设矩形 BNPM 的面积为 S

7、(x)m2，则 S(x)xyx (x10) 250，4x 8.(10 12x) 12当 x4，8时，S(x)单调递增所以当 x8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48m2.10大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v log3 ，单位是 m/s， 是表示鱼的耗氧量的单位数12 100(1)当一条鲑鱼的耗氧是 900 个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍解：(1)由 v log3 可知，12 100当 900 时， v log3 log391(m/s)12 900100 12所以当

8、一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s.(2)由 v2v 1 1，即 log3 log3 1，12 2100 12 1100得 9.所以耗氧量的单位数为原来的 9 倍21B 级 能力提升1在 x 克 a%的盐水中，加入 y 克 b%的盐水，浓度变为 c%，则 x 与 y 的函数关系式为( )Ay x By xc ac b c ab cCy x Dy xa cb c b cc a解析：据题意有 c %，所以 c，a%x b%yx y ax byx y即 axbycxcy，所以(bc)y( ca)x，所以 y x.c ab c答案：B2某药厂研制出一种新型药剂，投入市场后其广

9、告投入 x(万元)与药品利润 y(万元 )存在的关系为 yx ( 为常数)，其中 x 不超过 5 万元已知去年投入广告费用为 3 万元，药品利润为 27 万元，若今年广告费用投入 5 万元，预计今年药品利润为_万元解析：由已知投入广告费用为 3 万元时，药品利润为 27 万元，代入yx ，即 327，解得 3，故函数关系式为 y x3，所以当 x5 时，y 125.故预计今年药品利润为 125 万元答案：1253一片森林原来的面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 .已知到今年为止，

10、森林剩余面积为原来的 .14 22(1)求每年砍伐面积的百分比(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0x1)，则 a(1 x)10 a，即(1x) 10 ，12 12解得 x1 .(12)110 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ，22则 a(1 x)m a，即 ，22 (12)m10 (12)12 所以 ，解得 m5，故到今年为止，已砍伐了 5 年m10 12(3)设从今年开始，以后砍伐了 n 年，则 n 年后剩余面积为 a(1x) n.22令 a(1x) n a，即(1x) n ，22 14 24所以 ，所以 ，解得 n15.(12)n10 (12)32 n10 32故今后最多还能砍伐 15 年