2019秋人教A版数学必修2同步练习含解析：1.3.2球的体积和表面积

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1、A 级 基础巩固一、选择题1若两球的体积之和是 12，经过两球球心的截面圆周长之和为 6，则两球的半径之差为( )A1 B2C3 D4解析：设两球的半径分别为 R，r(Rr) ，则由题意得 解得43R3 43r3 12，2R 2r 6，)故 Rr 1.R 2，r 1.)答案：A2(2019全国卷)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA PBPC ，ABC 是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF 90，则球 O 的体积为 ( )A8 B4 6 6C2 D. 6 6答案：D3如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A9 42 B361

2、8C. 12 D. 1892 92解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V 332 18.43(32)3 92答案：D4等体积的球和正方体的表面积 S 球 与 S 正方体 的大小关系是( )AS 正方体 S 球 BS 正方体 S 球CS 正方体 S 球 D无法确定解析：设正方体的棱长为 a，球的半径为 R，由题意，得 V R3a 3，所以 a ，R ，43 3V 33V4所以 S 正方体 6a 26 ，3V2 3216V2S 球 4R 2 S 正方体336V2 3216V2答案：A5球的表面积 S1 与它的内接正方体的表面积 S2 的比值是( )A. B. C. D 3

3、 4 2解析：设球的内接正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则 3a24R 2，所以 a2 R2，43球的表面积 S14 R2，正方体的表面积 S26a 26 R28R 2，所以 .43 S1S2 2答案：C二、填空题6(2017天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_解析：设正方体的棱长为 a，则 6a218，所以 a .3设球的半径为 R，则由题意知 2R 3，a2 a2 a2所以 R .32故球的体积 V R3 .43 43 (32)3 92答案： 927一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积 S_解析：由三视图可知此几何体的

4、上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积 S4 423 2222 32.12答案：328.(2017江苏卷)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_V1V2解析：设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，所以圆柱 O1O2 的高为 2R，底面半径为 R.所以 .V1V2 R22R43R3 32答案：32三、解答题9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l 3，试求该组合体的表面积和体积解：组合体的表面积

5、 S4r 22 rl4 1221310.因为圆柱的体积 V 圆柱 r2l1 233 ，又两个半球的体积 2V 半球 r3 ，43 43因此组合体的体积 V3 .43 13310盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解：设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V 球2 (cm3)，43 (52)3 1253此体积即等于它们在容器中排开水的体积 V5 2h，所以 52h，1253所以 h ，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.53 53B 级 能力提升1已知三棱锥 DABC 中，AD2，

6、AC ，BCBD，ADAC ，则三棱锥的外接2球的表面积为( )A6 B24C. D8 6 6解析：设 DC 的中点为 O，如图因为 DAAC，所以 CD 的中点 O 为 ADC 外接圆圆心又因为 DBBC，所以 CD 的中点 O 为 BDC 外接圆圆心所以 O 点到点 A、B、C、D 的距离相等，所以 O 为三棱锥外接球的球心又因为 AD2，AC ，所以 CD ，2 6所以三棱锥外接球的半径 R ，62所以三棱锥外接球的表面积为 4 6.(62)2 答案：A2平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的2体积为_解析：设球的半径为 R，截面圆的半径为 r，

7、球心到截面的距离为 d，则R2d 2 r23，所以 R ，3因此 V 球 R34 .43 3答案：4 33体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱) 的表面积分别是S1，S 2，S 3，试比较它们的大小解：设正方体的棱长为 a，球的半径为 R，等边圆柱的底面半径为 r，则 S16a 2，S 24R 2，S 36 r2.由题意知 R3a 3r 22r，43所以 R a， r a，334 312所以 S24 4 a2 a2，(334a)2 3 9162 336S36 6 a2 a2，(312a)2 3142 354所以 S2S 3.又 6a23 a2 a2，即 S1S 3.32 354所以 S1，S 2，S 3 的大小关系是 S2S 3S 1.