2019秋人教A版数学必修4《第二章 平面向量》单元评估验收试卷（含解析）

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1、单元评估验收( 二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若向量 a(2，0)，b(1，1) ，则下列结论正确的是( )Aab1 B|a| |b|C(ab)b Dab解析：ab2，所以 A 不正确；|a| 2，|b| ，则|a| |b|，所以 B 不正确；2ab(1 ，1)，( ab)b(1， 1)(1，1) 0，所以(ab) b，所以 C 正确；由于21012 0，所以 a，b 不平行，所以 D 不正确答案：C2已知向量 a，b 不共线，若 1ab， a 2b，且 A，B，C

2、 三点共线，则AB AC 关于实数 1， 2 一定成立的关系式为 ( )A 1 21 B 1 21C 121 D 1 21解析：因为 A，B，C 三点共线，所以 k (k0)，AB AC 所以 1abk(a 2b)kak 2b.又 a，b 不共线，所以 所以 121.1 k，1 k2，)答案：C3( ) ( ) 化简后等于( )AB MB BO BC OM A. B. C. D.BC AB AC AM 解析：原式 .AB BO OM MB BC AC 答案：C4设非零向量 a，b 满足|a b|ab|，则( )Aab B|a| |b| Cab D|a| |b|解析：由|ab |ab|，得(ab

3、) 2( ab) 2，得 ab0，又 a，b 均为非零向量，故 ab.答案：A5已知 (2，2) ， (4，1)， (x，0)，则当 最小时，x 的值是( )OA OB OP AP BP A3 B3 C1 D1解析： (x 2，2)， (x 4，1)， ( x2)AP OP OA BP OP OB AP BP (x4)2x 2 6x10(x 3) 21.当 x3 时， 取到最小值AP BP 答案：B6设点 A(1 ，2) ，B(2，3)，C(3，1) ，且 2 3 ，则点 D 的坐标为( )AD AB BC A(2，16) B(2，16)C(4，16) D(2，0)解析：设 D(x， y)，由

4、题意可知 ( x1，y2)， (3 ，1)， (1，4)，AD AB BC 所以 2 3 2(3 ，1)3(1，4) (3，14) AB BC 所以 x 1 3，y 2 14，)所以 x 2，y 16.)答案：A7设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析： ( ) .AD AC CD AC 13BC AC 13AC AB 43AC 13AB 13AB 43AC 答案：A8在菱形 ABCD 中，若 AC2，则 等于( )CA AB A2 B2C

5、| |cos A D与菱形的边长有关AB 解析：如图，设对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 .AB AO OB ( )202.CA AB CA AO OB 答案：B9设 D 为边长是 2 的等边 ABC 所在平面内一点， 3 ，则 的值是( )BC CD AD AC A. B C. D4143 143 43解析：由 3 可得，点 D 在ABC 外，在直线 BC 上且 BD4CD，则| | |BC CD CD 13| ， ( ) | |2| | |cos 4 2 .BC 23 AD AC AC CD AC AC CD AC 3 23 12 143答案：A10在ABC 中，AB 4，ABC

6、30 ，D 是边 BC 上的一点，且 ，AD AB AD AC 则 的值等于( )AD AB A4 B0 C4 D8解析：因为 ，AD AB AD AC 所以 ( )0，AD AB AC 所以 0 ，即 ADBC.AD CB 所以ADB90，在 RtADB 中， B30，所以 AD AB2，BAD 60 ，12所以 | | |cos 6024 4.AD AB AD AB 12答案：C11定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的 a(m ，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是 ( )A若 a 与 b 共线，则 ab 0BabbaC对任意的 R，有(a) b( ab)D(ab)

7、 2(a b)2|a| 2|b|2解析：根据题意可知若 a，b 共线，可得 mqnp，所以 abmqnp0，所以 A正确；因为 abmqnp，而 banpmq，故二者不相等，所以 B 错误；对于任意的R，( a)b (ab)mq np，所以 C 正确；(a b)2( ab)2m 2q2n 2p22mnpqm 2p2n 2q22mnpq(m 2n 2)(p2q 2)|a| 2|b|2，所以 D 正确答案：B12已知 A，B，C 是锐角ABC 的三个内角，向量 p(sin A，1)，q(1，cos B)，则 p 与 q 的夹角是( )A锐角 B钝角 C直角 D不确定解析：因为ABC 为锐角三角形，

8、所以 AB ，2所以 A B ，且 A，B ，2 (0，2)所以 sin Asin cos B，所以 pqsin Acos B0，故 p，q 的夹角为锐角(2 B)答案：A二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13已知向量 a(2，3)，b(3，m)，且 ab，则 m_解析：由题意可得，233m 0，所以 m2.答案：214已知向量 a，b 满足|a| 1，|b|2，则| ab|ab| 的最小值是 _，最大值是_解析：不妨令 b(2，0)，a(cos ，sin )，则 ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )，令 y|ab| |

9、 ab| （2 cos ）2 sin2 （cos 2）2 sin2 ，5 4cos 5 4cos 则 y2102 .25 16cos2因为 2516cos 29，25，所以 y216，20又 y0，所以 y4，2 5答案：4 2 515若 a(2，3)，b( 4，7) ，ac 0，则 c 在 b 方向上的投影为 _解析：ac(2，3)c 0，所以 c(2，3) ，设 c 与 b 夹角为 ，则 c 在 b 方向上的投影为|c|cos | c| cb|c|b| cb|b| .（ 2， 3）（ 4，7）（ 4）2 72 655答案：65516若两个向量 a 与 b 的夹角为 ，则称向量“ab”为 “

10、向量积” ，其长度|ab| |a|b|sin ，若已知| a|1，|b| 5，ab4，则|ab| _解析：由|a| 1 ，|b|5，ab 4 得 cos ，45又 0，所以 sin .35由此可得|ab |15 3.35答案：3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图，ABCD 是一个梯形， 且| |2| |，M ，N 分AB CD AB CD 别是 DC，AB 的中点，已知 e 1， e 2，试用 e1，e 2 表示下列向量 ， .AB AD AC MN 解：因为 ，| |2| |，AB CD AB CD 所以 2

11、， .AB DC DC 12AB (1) e 2 e1.AC AD DC 12(2) MN MD DA AN 12DC AD 12AB e1e 2 e114 12 e1e 2.1418(本小题满分 12 分)不共线向量 a， b 的夹角为小于 120的角，且| a|1，|b| 2，已知向量 ca 2b，求|c |的取值范围解：|c| 2|a2b| 2|a| 24ab4| b|2178cos (其中 为 a 与 b 的夹角) 因为 0120.所以 cos 1，12所以 |c|5，13所以|c| 的取值范围为( ，5)1319(本小题满分 12 分)如图所示，在ABC 中， ， ，BQ 与 CR

12、相AQ QC AR 13AB 交于点 I，AI 的延长线与边 BC 交于点 P.(1)用 和 分别表示 和 ；AB AC BQ CR (2)如果 ，求实数 和 的值；AI AB BQ AC CR (3)确定点 P 在边 BC 上的位置解：(1)由 ，AQ 12AC 可得 .BQ BA AQ AB 12AC 因为 ，AR 13AB 所以 .CR CA AR AC 13AB (2)将 ， 代入 ，BQ AB 12AC CR AC 13AB AI AB BQ AC CR 则有 ，AB ( AB 12AC ) AC ( AC 13AB )即(1) (1) ，AB 12AC 13AB AC 所以 解得1

13、 13，12 1 ，) 45， 35.)(3)设 m ， n .BP BC AP AI 由(2)知 ，AI 15AB 25AC 所以 n n m m m ，BP AP AB AI AB (15AB 25AC ) AB 2n5AC (n5 1)AB BC AC AB 因为 与 不共线，AB AC 所以 解得 m n5 1，m 2n5， ) m 23，n 53，)所以 ，即 2，BP 23BC BPPC所以点 P 在 BC 的三等分点且靠近点 C 处20(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中， (6 ，1)， (x ，y)，AB BC ( 2，3)， .CD BC DA (1)求 x 与

14、y 的关系式；(2)若 ，求 x、y 的值以及四边形 ABCD 的面积AC BD 解：如图所示(1)因为 (x4，y2)，所以 (x4，2y) AD AB BC CD DA AD 又因为 ， (x，y) ，BC DA BC 所以 x(2y) (x 4)y 0，即 x2y0.(2)由于 (x6，y1)，AC AB BC (x2，y3)BD BC CD 因为 ，所以 0，AC BD AC BD 即(x6)(x2)(y 1)(y 3)0，又 x2y0，所以 y22y30，所以 y 3 或 y1.当 y3 时，x6，于是 (6，3)， (0 ，4) ， (8，0) BC AC BD 所以| |4，|

15、|8，AC BD 所以 S 四边形 ABCD | | | 16.12AC BD 当 y1 时，x 2，于是有 (2，1) ， (8 ，0)， (0 ，4)BC AC BD 所以| |8，| |4，S 四边形 ABCD16.AC BD 综上可知 或x 6，y 3 ) x 2，y 1，)S 四边形 ABCD16.21(本小题满分 12 分)已知 a(2xy1，x y2) ，b(2，2)(1)当 x，y 为何值时，a 与 b 共线？(2)是否存在实数 x，y 使得 ab，且| a|b| ？若存在，求出 xy 的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为 a 与 b 共线，所以存在实数 ，使得 ab，所以

16、 2x y 1 2，x y 2 2，)解得 x 13，yR，)所以当 x ，y 为任意实数时，a 与 b 共线13(2)由 abab0(2xy1)2( xy 2) (2)0x2y30.由|a |b|(2 xy1) 2(x y2) 28.联立解得 或x 1，y 1，) x 53，y 73，)所以 xy1 或 xy .359所以存在实数 x，y ，使得 ab，且|a|b| ，此时 xy1 或 xy .35922(本小题满分 12 分)已知三角形 ABC 是等腰直角三角形，ABC90，D 是 BC边的中点，BE AD ，延长 BE 交 AC 于点 F，连接 DF.求证： ADBFDC(用向量方法证明

17、) 证明：如图所示，建立直角坐标系，设 A(2，0) ，C (0，2)，则 D(0，1)于是 ( 2，1) ， (2，2)AD AC 设 F(x，y)，由 ，BF AD 得 0，BF AD 即(x，y)(2，1)0，所以2xy0.又 F 点在 AC 上，则 ，FC AC 而 (x，2 y )，FC 因此 2(x) (2)(2 y) 0，即 xy 2.由式解得 x ，y ，23 43所以 F ， ， (0，1) ，(23，43) DF (23，13) DC ，DF DC 13又 | | |cosFDC cos FDC.DF DC DF DC 53所以 cosFDC ，55又 cosADB ，DB DA |DB |DA | 15 55所以 cosADBcosFDC ，故 ADBFDC.55