2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析：1.4.2（第１课时）正、余弦函数的周期性与奇偶性

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1、A 级 基础巩固一、选择题1下列函数中，周期为 的函数是( )Ay2sin x Bycos xCy sin Dycos(12x 3) (3 2x)解析：根据公式 T 可知函数 ycos 的最小正周期是 T .2| (3 2x) 2| 2|答案：D2函数 ycos 是( )( x2 2)A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数也是偶函数解析：由题意知 ycos 的定义域为 R，( x2 2)且关于原点对称因为 yf(x )cos sin ，( x2 2) x2所以 f(x) sin sin f(x)( x2) x2所以 ycos 是奇函数( x2 2)答案：A3下列函数为奇函数的是( )A

2、y By|sin x|xCy cos x Dye xe x解析：对于 D，f(x)e xe x 的定义域为 R，f(x)e x e xf (x)，故 ye xe x为奇函数而 y 的定义域为x|x 0，不具有对称性，故 y 为非奇非偶函数y|sin x|和x xycos x 为偶函数答案：D4(2019惠州市调研)函数 f(x)2cos 2xsin 2x2(0)的最小正周期为 ，则( )A. B232C1 D.12解析：因为 f(x)2cos 2xsin 2x2 cos 2x ，0，所以最小正周期32 52T ，所以 1.22答案：C5已知函数 ysin(2x )在 x 处取得最大值，则函数

3、ycos(2 x )的图象( )6A关于点 对称 B关于点 对称(6， 0) (3， 0)C关于直线 x 对称 D关于直线 x 对称6 3解析：因为函数 ysin(2x ) 在 x 处取得最大值，6所以 2 2k(k Z)，即 2k，kZ.6 2 6所以 ycos(2x)cos cos .(2x 6 2k) (2x 6)经验证可知，其图象关于点 对称(6，0)答案：A二、填空题6函数 f(x) cos 2x1 的图象关于_对称(填“原点”或“y 轴”)2解析：函数的定义域为 R，f( x ) cos 2(x)1 cos(2x )1 cos 2 2 22x1f( x)故 f(x)为偶函数，所以图

4、象关于 y 轴对称答案：y 轴7方程 sin x 的解的个数为_x10解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数 ysin x的图象与函数 y 图象的交点个数问题，借助图形直观求解x10当 x4 时， 1sin x，此时两图象无交点；x10 410当 0 ，从而当 4x0，有 3 个交点52 52 5210 520由对称性知，当 x0 时，有 3 个交点，加上 x0 处的交点，一共有 7 个交点答案：78若函数 f(x)2cos 的最小正周期为 T，且 T(1，3)，则 的最大正整数(x 3)值是_解析： ，因为 T(1，3)，所以 2.2T 23所以 的最大正整数值为

5、 6.答案：6三、解答题9判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)lg(sin x )；1 sin2x(2)f(x)sin .(3x4 32)解：(1)因为 1sin 2xsin 2x，所以 |sin x|sin x，1 sin2x所以 sin x 0，1 sin2x所以函数 f(x)的定义域为 R.f(x)lgsin(x ) lg(sin x )1 sin2（ x） 1 sin2xlg lg(sin x )f (x)，(1sin x 1 sin2x) 1 sin2x所以 f(x)为奇函数(2)f(x)sin cos ，xR.(3x4 32) 3x4又 f(x )cos cos f (x)，( 3

6、x4) 3x4所以函数 f(x)sin 是偶函数(3x4 32)10函数 f(x)满足 f(x2) .求证：f (x)是周期函数，并求出它的一个周期1f（ x）证明：因为 f(x4)f(x 2)2) f(x)，1f（x 2）所以 f(x)是周期函数，且 4 是它的一个周期B 级 能力提升1设 f(x)是定义域为 R，最小正周期为 的函数，32若 f(x) 则 f 的值等于( )cos x， 2 x 0，sin x， 0 x ， ) ( 154)A1 B.22C0 D22解析：f f f sin .( 154) 32 （ 3） 34 (34) 34 22答案：B2已知定义在 R 上的函数 f(x

7、)是以 2 为周期的奇函数，则方程 f(x)0 在2，2上至少有_个实数根解析：因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，又因为函数 f(x)以 2 为周期，所以 f(2)f( 2)f(0)0，且 f（ 1） f（1），f（ 1） f（1），)解得 f(1) f(1)0，故方程 f(x)0 在 2，2上至少有 5 个实数根答案：53求使下列函数取得最大值和最小值时的 x 的值，并求出函数的最大值和最小值(1)ycos 2x2sin x 2；(2)ysin 2x sin x ；354(3)ycos 2xsin x ，x . 4， 4解：(1)ycos 2x2sin x2 si

8、n2x2sin x 1(sin x 1) 2.因为1sin x 1，所以当 sin x1，即 x 2k，kZ 时，函数取得最小值，y min(11)224；当 sin x1，即 x 2k， kZ 时，函数取得最大值，2ymax (11) 20.(2)ysin 2x sin x 2.354 (sin x 32)2 因为1sin x1，所以当 sin x ，即 x2k (kZ)或 x2k (kZ)时，函32 3 23数取得最大值，y max2；当 sin x1，即 x2k (kZ)时，函数取得最小值，32ymin .14 3(3)ycos 2xsin x 1sin 2xsin x .(sin x 12)2 54因为 x ，所以 sin x ，4 4 22 22所以当 sin x ，即 x 时，函数取得最大值，y max ；12 6 54当 sin x ，即 x 时，函数取得最小值，y min .22 4 12 22