2019秋人教A版数学必修4《第三章三角恒等变换》单元评估验收试卷（含解析）

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1、单元评估验收( 三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)12sin 2151 的值是( )A. B C. D12 12 32 32解析：2sin 2151(1 2sin 215)cos 30 .32答案：D2在ABC 中，已知 sin Asin Bcos Acos B，则ABC 是( )A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰三角形解析：sin Asin Bcos Acos B，即 sin Asin Bcos Acos B0，cos(AB)0，所以cos C0，从而 C

2、为钝角，ABC 为钝角三角形答案：B3已知 cos ， 0，则 sin 2 的值是( )(52 ) 35 2A. B. C D2425 1225 1225 2425解析：由已知得 sin ，又 0，35 2故 cos ，45所以 sin 22sin cos 2 .( 35) 45 2425答案：D4函数 f(x)sin x cos x cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )32A， 1 B， 2 C2，1 D2，2解析：因为 f(x)sin x cos x cos 2x32 sin 2x cos 2x12 32sin ，(2x 3)所以函数 f(x)的最小正周期和振幅分别是 ，1.答案：

3、A5在ABC 中，C120， tan Atan B ，则 tan Atan B 的值为( )233A. B. C. D.14 13 12 53解析：ABC 中，C120，得 AB60 ，所以(tan Atan B) tan( AB)(1tan Atan B)(1tan Atan B) .3233所以 tan Atan B .13答案：B6已知 为锐角，cos ，则 tan ( )55 (4 2)A3 B C D717 43解析：由 为锐角，cos ，得 sin ，所以 tan 2，tan 2 55 255 2tan 1 tan2 ，所以 tan .41 4 43 (4 2) 1 tan 21

4、tan 21 431 43 17答案：B7若 cos ， ，则 sin 的值为( )( 4) 13 (0， 2)A. B. C. D.4 26 4 26 718 23解析：由题意可得， ，4(4，34)所以 sin ，( 4) 1 cos2( 4) 223sin sin ( 4 4)sin cos cos sin ( 4) 4 ( 4) 4 223 22 13 22 .4 26答案：A8已知 sin cos ， 则 tan 的值为( )52 1tan A5 B6 C7 D8解析：将方程 sin cos 两边平方，52可得 1sin 2 ，即 sin 2 ，54 14则 tan 8.1tan t

5、an2 1tan (sin cos )2 1sin cos 2sin 2 2 14答案：D9已知 cos ，x (0，)，则 sin x 的值为( )(x 6) 35A. B. C. D. 43 310 43 310 12 32解析：由 cos ，且 0x，得(x 6) 350x ，62所以 sin ， (x 6) 45所以 sin xsin sin cos cos sin .(x 6) 6 (x 6) 6 (x 6) 6 45 32 35 12 43 310答案：B10已知 sin ，则 cos ( )(5 ) 14 (2 35)A B. C. D78 78 18 18解析：由题意可得，co

6、s cos(2 35) 2( 310)cos 2 2 (5 )2cos 2 12 (5 )2sin 2 1(5 ) .78答案：A11(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在 a，a是减函数，则 a 的最大值是( )A. B. C. D4 2 34答案：A12设函数 f(x)sin(x ) cos(x )(0，| )的最小正周期为 ，且 f(x)2f(x) ，则( )Af(x)在 上单调递减(0， 2)Bf(x)在 上单调递减(4， 34)Cf(x)在 上单调递增(0， 2)Df(x)在 上单调递增(4， 34)解析：f(x) sin(x )cos(x ) 2cos （x ）co

7、s 4 sin（x ）sin 4 cos2 （x ） 4 cos2 x ( 4)因为 f(x)的最小正周期为 ，所以 ，2.2又 f(x )f(x) ，即 f(x)是偶函数，所以 k(kZ)4因为| ，所以 ，2 4所以 f(x) cos 2x，2由 02x 得 0x ，此时，f(x)单调递减2答案：A二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13已知 2cos2xsin 2xAsin( x)b(A0) ，则 A_，b_解析：因为 2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x sin(2x )1Asin(x)b，24所以 A ，b1.2答案：

8、1214若 tan ，则 tan _( 4) 16解析：tan ，解得 tan .( 4) tan 11 tan 16 75答案：7515函数 f(x)sin 2 sin2x 的最小正周期是_(2x 4) 2解析：由 f(x)sin 2 sin2x(2x 4) 2 sin 2x cos 2x2 22 22 2 1 cos 2x2 sin 2x cos 2x22 22 2sin ，(2x 4) 2故最小正周期为 .答案：16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形( 如图)如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么

9、 cos 2 的值等于_ 解析：题图中小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，故每个直角三角形的面积为 6.设直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，则有 a2 b2 25，12ab 6， )所以两条直角边的长分别为 3，4.则 cos ，cos 22cos 21 .45 725答案：725三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知 0 ，sin .2 45(1)求 的值；sin2 sin 2cos2 cos 2(2)求 tan 的值( 54)解：(1)由 0 ，sin ，得 cos .2 45 35所以 sin2

10、 sin 2cos2 cos 2 sin2 2sin cos 3cos2 120.(45)2 245353(35)2 1(2)因为 tan ，sin cos 43所以 tan .( 54) tan 11 tan 43 11 43 1718(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) cos ，xR.2 (x 12)(1)求 f ；( 6)(2)若 cos ， ，求 f .35 (32， 2) (2 3)解：(1)f cos cos cos 1.( 6) 2 ( 6 12) 2 ( 4) 2 4(2)f (2 3) cos2 (2 3 12) cos2 (2 4)cos 2 sin 2.因为 co

11、s ， ，35 (32，2)所以 sin .45所以 sin 22sin cos .2425cos 2cos 2sin 2 .725所以 f cos 2sin 2 .(2 3) 725 ( 2425) 172519(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) sin 2x2cos 2x.3(1)求 f(x)的最大值；(2)若 tan 2 ，求 f()的值3解：(1)f(x) sin 2x2cos 2x3 sin 2xcos 2x132sin 1.(2x 6)当 2x 2k ，6 2即 xk ，kZ 时，f( x)的最大值为 1.3(2)f() sin 22cos 2323sin cos 2cos

12、2sin2 cos2 ，23tan 2tan2 1因为 tan 2 ，3所以 f() .2323 243 1 101320(本小题满分 12 分)已知向量 m(sin A，cos A)，n( ，1)且 mn1，且 A3为锐角(1)求角 A 的大小；(2)求函数 f(x) cos 2x4cos Asin x(xR)的值域解：(1)由题意得 mn sin Acos A2sin 1，3 (A 6)sin .(A 6) 12由 A 为锐角得 A ，所以 A .6 6 3(2)由(1)知 cos A ，12所以 f(x)cos 2x2sin x1 2sin2x2sin x 2 .(sin x 12)2

13、32因为 xR，所以 sin x1，1，因此，当 sin x 时，f(x)有最大值 ，当 sin x1 时，f(x) 有最小值3，12 32所以所求函数 f(x)的值域为 . 3，3221(本小题满分 12 分)(2018上海卷)设常数 aR，函数 f(x)asin 2x2cos 2x.(1)若 f(x)为偶函数，求 a 的值；(2)若 f 1，求方程 f(x)1 在区间 ，上的解(4) 3 2解：(1)f(x) asin 2x 2cos 2x11asin 2xcos 2x1，f(x)asin(2x) cos( 2x) 1asin 2xcos 2x1，当 f(x)为偶函数时，f(x )f(x)

14、，则 aa，解得 a0.(2)f asin 2cos 2 ，(4) 2 4由题意 f a1 1，所以 a ，(4) 3 3所以 f(x) sin 2x2cos 2x sin 2xcos 2x12sin 1，3 3 (2x 6)当 x ，时，即 2x ，6 116，136令 f(x)1 ，则 2sin 11 ，2 (2x 6) 2解得：x ， ， ， .1124 524 1324 192422(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2cos x(sin xcos x)(1)求 f 的值；(54)(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间解：法一 (1)f 2cos (54) 54(sin

15、 54 cos 54)2cos 2.4( sin 4 cos 4)(2)因为 f(x)2sin x cosx2cos 2xsin 2x cos 2x1 sin 1，2 (2x 4)所以 T ，故函数 f(x)的最小正周期为 .22由 2k 2x 2k ，kZ，2 4 2得 k xk ，k Z.38 8所以 f(x)的单调递增区间为 ，kZ.k 38，k 8法二 f(x) 2sin x cos x2cos 2xsin 2x cos 2x1 sin 1.2 (2x 4)(1)f sin 1 sin 12.(54) 2 114 2 4(2)因为 T ，所以函数 f(x)的最小正周期为 .22由 2k 2x 2k ，kZ，2 4 2得 k xk ，k Z.38 8所以 f(x)的单调递增区间为 ，kZ.k 38，k 8