2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析：2.2.3向量数乘运算及其几何意义

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1、A 级 基础巩固一、选择题1下列各式计算正确的个数是( )(7)6a42a；a2b2(ab) 3a；ab( ab)0.A0 B1C2 D3解析：根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数答案：C2如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 的中点，则向量 ( )DC A. B. 12BA BC 12BA BC C D 12BA BC 12BA BC 解析：因为 D 是 AB 的中点，所以 ，BD 12BA 所以 .DC BC BD BC 12BA 答案：D3已知非零向量 a，b，且 a2b， 5a6b， 7a2b，则一定共线AB BC CD 的三

2、点是( )AA，B ，D BA，B，CCB，C，D DA，C ，D解析：因为 a2b， 5a6b， 7a2b，AB BC CD 所以 4a8b， 2a4b 2 ，AC AB BC BC CD BD AB 所以 A，B ，D 三点共线答案：A4设 P 是ABC 所在平面内的一点， 2 ，则( )BC BA BP A. 0 B. 0PA PB PC PA C. 0 D. 0PB PC PA PB PC 解析：如图，因为 2 ，BC BA BP 所以 P 是线段 AC 的中点，所以 ，即 0.PA PC PC PA 答案：B5在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD

3、 的中点，AE 的延长线交 DC 于点 F，若 a， b，则 ( )AB AD AF A. ab B. ab13 12Ca b Da b13 12解析：由已知条件可知 BE3DE，所以 DF AB，13所以 ab.AF AD DF AD 13AB 13答案：A二、填空题6若|a |5，b 与 a 的方向相反，且 |b|7，则 a_ b.解析：因为|a| 5，|b|7，所以 ，|a|b| 57又方向相反，所以 a b.57答案：577设向量 a， b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _解析：因为 ab 与 a2b 平行，所以 abt (a2b)，即 abt a2t b，所以 解得

4、t，1 2t，) 12，t 12.)答案：128已知ABC 和点 M 满足 0，若存在实数 m 使得 mMA MB MC AB AC 成立，则 m 的值为_AM 解析：因为 0，所以点 M 是ABC 的重心，所以 3 ，所MA MB MC AB AC AM 以 m3.答案：3三、解答题9(1)已知 3(xa)3( x2a)4( xab) 0(其中 a， b 为已知向量)，求 x；(2)已知 其中 a， b 为已知向量，求 x， y.3x 4y a，2x 3y b， )解：(1)原方程可化为 3x3a3x6a4x4a4b0，即 2xa4b0，所以 x2b a.12(2)3x 4y a，2x 3y

5、 b，)由得 y x b，23 13代入，得 3x4 a，(23x 13b)所以 3x x ba，即 17x4b3a，83 43所以 x b a，417 317所以 y b b a b a b.23(417b 317a) 13 851 217 13 217 31710已知 e， f 为两个不共线的向量，且四边形 ABCD 满足 e 2f， 4ef， 5e3f .AB BC CD (1)将 用 e， f 表示；AD (2)求证：四边形 ABCD 为梯形(1)解：根据向量的线性运算法则，有 ( e2f)(4ef)AD AB BC CD (5e 3f) (145)e(21 3)f8e2f .(2)证

6、明：因为 8e 2f2(4ef)2 ，AD BC 所以 与 同向，且 的长度为 长度的 2 倍，AD BC AD BC 所以在四边形 ABCD 中，AD BC，且 ADBC，所以四边形 ABCD 是梯形B 级 能力提升1如图，ABC 中，AD，BE，CF 分别是 BC，CA ，AB 上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是 ( )A. B. 2BG 23BE CG GF C. D. DG 12AG 13DA 23FC 12BC 解析：因为 G 是ABC 的重心，所以 BG BE，CG 2GF ， DG AG，23 12所以 ， 2 ， ，BG 23BE CG GF DG 12AG 所以

7、 .所以 C 不正确13DA 23FC DG GC DC 12BC 答案：C2若 t (tR)，O 为平面上任意一点，则 _(用 ， 表示) AP AB OP OA OB 解析： t ， t ( )， t t (1 t ) t .AP AB OP OA OB OA OP OA OB OA OA OB 答案：(1t) tOA OB 3设 a，b 是不共线的两个非零向量(1)若 2a b， 3ab， a3b，求证：A，B，C 三点共线；OA OB OC (2)若 8akb 与 ka2b 共线，求实数 k 的值；(3)若 ma， nb， a b，其中 m，n， 均为实数，OM ON OP m0，n0

8、，若 M，P，N 三点共线，求证： 1.m n(1)证明：因为 (3ab) (2ab)a2b，AB OB OA 而 (a3b)(3ab) (2a4b)2 ，BC OC OB AB 所以 与 共线，且有公共点 B，所以 A，B，C 三点共线AB BC (2)解：因为 8akb 与 ka2b 共线，所以存在实数 ，使得 8akb( ka2b) ，即(8k) a(k2)b0.因为 a 与 b 不共线，所以 8 k 0，k 2 0，)解得 2，所以 k24.(3)证明：因为 M，P，N 三点共线，O 为直线外一点，所以存在实数 x，y ，使得 x y ，且 xy 1.OP OM ON 又因为 a b，且 a，b 不共线，OP 所以 xma ynb a b，所以 xm，yn，OP 所以 xy1.m n