2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析：2.5平面向量应用举例

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1、A 级 基础巩固一、选择题1一质点受到平面上的三个力 F1，F 2，F 3 的作用而处于平衡状态已知 F1 与 F2 的夹角为 60，且 F1，F 2 的大小分别为 2 N 和 4 N，则 F3 的大小为( )A6 N B2 N C2 N D2 N5 7解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2| F1F 2|2| F1|2| F2|22| F1|F2|cos 602 24 2224 28，12所以|F 3|2 (N)7答案：D2平面内四边形 ABCD 和点 O，若 a， b， c， d，且OA OB OC OD acbd，则四边形 ABCD 为( )A菱形 B梯形C矩形 D平行四边

2、形解析：由题意知 abdc，所以 ，所以四边形 ABCD 为平行四边形BA CD 答案：D3如图所示，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10 牛，方向与水平面成 60角，当小车向前运动 10 米，则力 F 做的功为( )A100 焦耳 B50 焦耳C50 焦耳 D200 焦耳3解析：设小车位移为 s，则| s|10 米WFFs|F |s|cos 6010 10 50( 焦耳)12答案：B4在ABC 中，AB 3，AC 边上的中线 BD ， 5，则 AC 的长为( )5 AC AB A1 B2 C3 D4解析：因为 .BD AD AB 12AC AB 所以 2 2 2( )2，即 21.所

3、以| |2，即BD (12AC AB )2 14AC AC AB AB 5 14AC AC AC2.答案：B5在ABC 所在的平面内有一点 P，满足 ，则PBC 与ABC 的PA PB PC AB 面积之比是( )A. B. C. D.13 12 23 34解析：由 ，PA PB PC AB 得 0，PA PB BA PC 即 2 ，所以点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示PC AP 故 .SPBCSABC PCAC 23答案：C二、填空题6一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成 30角，则水流速度为_km/h.解析：如图所示，船速| 1|

4、5(km/h)，水速为 2，实际速度| 10(km/h)，所以| 2| 5 (km/h)100 25 75 3答案：5 37在ABC 中，已知| | |4，且 8，则这个三角形的形状是AB AC AB AC _解析：因为 44cos A8，AB AC 所以 cos A ，所以 A ，12 3所以ABC 是正三角形答案：正三角形8已知力 F1，F 2，F 3 满足| F1|F 2|F 3|1，且 F1F 2F 30，则|F1F 2|_解析：由 F1F 2F 30，可得 F1F 2F 3，所以(F 3)2(F 1F 2)2，化简可得： F F F 2F 1F2，由于|F 1|F 2| F3|1，2

5、3 21 2所以 2F1F21，所以|F 1F 2| .（F1 F2）2 1 （ 1） 1 3答案： 3三、解答题9在直角坐标平面 xOy 内，已知向量 (1，5) ， (7，1) ， (1，2)，点OA OB OM P 为满足 t (tR)的动点，当 取得最小值时，求：OP OM PA PB (1)向量 的坐标；OP (2)cos APB 的值解：(1)因为 t (t，2t)，OP OM (1t，52t)，PA OA OP (7t，12t)，PB OB OP 所以 (1t)(7t)(52t)(12t)5t 220t 125(t2) 28.PA PB 当 取得最小值时，t2，PA PB 所以

6、(2 ，4) OP (2)因为 (1，1)， (5，3)，PA PB | | ，| | ，PA 2 PB 34所以 cosAPB .PA PB |PA |PB | 4171710一艘船从 A 点出发以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流3速为 2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)解：如图，设 表示船垂直于对岸的速度， 表示水流的速度，以 AD、AB 为邻边AD AB 作平行四边形 ABCD，则 就是船实际航行的速度AC 在 RtABC 中，| |2，| |2 ，AB BC 3所以| | 4，AC |AB |2 |BC |2 22 （23）2

7、所以 tanCAB ，所以CAB60.232 3故船实际航行速度的大小为 4 km/h，方向与水流速间的夹角为 60.B 级 能力提升1设平面上有四个互异的点 A、B、C 、D，已知( 2 )( )0，则DB DC DA AB AC ABC 的形状是( )A直角三角形 B等腰三角形C钝角三角形 D等边三角形解析： 2 ( )( ) ，DB DC DA DB AD DC AD AB AC 所以( 2 )( )( )( ) 2 20.DB DC DA AB AC AB AC AB AC AB AC 即 2 2，所以 | | |.AB AC AB AC 答案：B2如图所示，在倾斜角为 37(sin

8、370.6) ，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg 的物体 m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍，则斜面对物体 m 的支持力所做的功为_J，重力对物体 m 所做的功为_J(g 取 9.8 m/s2)解析：物体 m 的位移大小为 |s| (m)，则支持力对物体 m 所做的功为2sin 37 103W1F s| F|s|cos 900(J) ；重力对物体 m 所做的功为 W2Gs|G| s|cos 5359.8 0.698(J)103答案：0 983如图所示，ABCD 是正方形，M 是 BC 的中点，将正方形折起使点 A 与 M 重合，设折痕为 EF，若正方形面积为 64，求AEM 的面积解：如图所示，建立直角坐标系，显然 EF 是 AM 的中垂线，设 AM 与 EF 交于点N，则 N 是 AM 的中点，又正方形边长为 8，所以 M(8，4) ，N (4，2)设点 E(e，0)，则 (8，4)， (4，2)， (e，0) ， (4 e，2)，AM AN AE EN 由 得 0，AM EN AM EN 即(8，4)(4e，2) 0，解得 e5，即| | 5.AE 所以 SAEM | | | 5410.12AE BM 12