2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析：3.2简单的三角恒等变换

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1、A 级 基础巩固一、选择题1函数 y sin 2xcos 2x 的最小正周期为( )3A. B. C D22 23解析：因为 y sin 2xcos 2x32 (32sin 2x 12cos 2x)2sin ，(2x 6)所以最小正周期为 T .2 22答案：C2若函数 f(x)sin 2 x (xR)，则 f(x)是( )12A最小正周期为 的奇函数2B最小正周期为 的奇函数C最小正周期为 2的偶函数D最小正周期为 的偶函数解析：f(x) cos 2x.1 cos 2x2 12 12答案：D3已知 cos ，则 cos xcos 的值是( )(x 6) 33 (x 3)A B C1 D123

2、3 233解析：cos xcos cos x cos x sin x cos x sin (x 3) 12 32 32 32x cos(x )1.3(32cos x 12sin x) 3 6答案：C4函数 f(x) (1cos 2x )sin2x(xR)是( )12A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的奇函数2C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 的偶函数2解析：注意到 sin2x (1cos 2x)，因此 f(x) (1cos 2x)(1cos 2x) (1cos 22x)12 14 14 sin22x (1cos 4x)，即 f(x) (1cos 4x)，所以 f(x)的最小正周期为

3、 ，又 f(x)14 18 18 24 2 (1 cos 4x)f(x )，因此函数 f(x)是最小正周期为 的偶函数18 2答案：D5若函数 f(x)(1 tan x)cos x，0x ，则 f(x)的最大值是( )32A1 B2 C. 1 D. 23 3解析：f(x) (1 tan x)cos x3 cos x(1 3 sin xcos x) sin xcos x32sin .(x 6)因为 0x ，所以 x ，2 6 6 23所以当 x 时，f(x)取到最大值 2.6 2答案：B二、填空题6已知 为第二象限角，sin ，则 tan 2_35解析：由 sin ，且 为第二象限角得，35co

4、s ，1 sin245所以 tan ，tan 2 .sin cos 34 2tan 1 tan2 247答案：2477若 3sin x cos x2 sin(x)，( ，)，则 _3 3解析：因为 3sin x cos x2 ( sin x cos x)2 sin ，3 332 12 3 (x 6)因为 (， )，所以 .6答案：68. _1sin 183cos 18解析：原式cos 18 3sin 18sin 18cos 182(12cos 18 32sin 18)12sin 9 4.4sin 9sin 9答案：4三、解答题9已知 cos ， ( ，2) ，求 sin cos 的值725 2

5、 2解：因为 (，2)，所以 ，2(2，)所以 sin ，cos ，所以 sin cos .2 1 cos 2 45 2 1 cos 2 35 2 2 1510在ABC 中，cos A cos Bsin C ，求证：ABC 是直角三角形证明：在ABC 中，A BC ，所以 sin Csin(AB)cos Acos B，利用和差化积公式，得cos Acos B2cos cos ，A B2 A B2又因为 sin(AB) 2sin cos ，A B2 A B2所以 2sin cos 2cos cos ，A B2 A B2 A B2 A B2显然 cos 0，故 sin cos ，A B2 A B2

6、 A B2两边平方，得 sin2 cos 2 ，A B2 A B2即 ，1 cos（A B）2 1 cos（A B）2所以 cos(AB)cos( AB)0，所以 2cos Acos B0，即 cos A0 或 cos B0.因为 A，B 是三角形的内角，所以 A，B 中必有一个为直角，所以ABC 是直角三角形B 级 能力提升1(2016山东卷)函数 f(x)( sin xcos x)( cos xsin x)的最小正周期是( )3 3A. B C. D22 32解析：法一 因为 f(x)( sin xcos x)( cos xsin x)3 34( sin x cos x)( cos x s

7、in x)32 12 32 124sin cos(x 6) (x 6)2sin ，(2x 3)所以 T .22法二 因为 f(x)( sin xcos x)( cos xsin x)3 33sin x cos x cos2x sin2xsin xcos x3 3sin 2x cos 2x32sin ，(2x 3)所以 T .22答案：B2已知函数 f(x)sin xcos x(0)，x R.若函数 f(x)在区间( ，)内单调递增，且函数 f(x)的图象关于直线 x 对称，则 的值为 _解析：由已知得 f(x) sin ，2 (x 4)令 2k x 2k ，kZ ，2 4 2由 0，得 x ，

8、kZ ，2k 342k 4当 k0 时，得 f(x)的一个单调递增区间为 ， 34，4所以( ，) ，所以 34，4 34 ，4 ， )解得 0 ，2又函数 f(x)的图象关于直线 x 对称，所以 2 k ，k Z，解得 2k ，k Z，4 2 4又 0 ，所以 .2 2答案：23已知函数 f(x)(sin xcos x) 2cos 2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2解：(1)因为 f(x)sin 2xcos 2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2x sin 1，2 (2x 4)所以函数 f(x)的最小正周期为 T .22(2)由(1)的计算结果知，f(x) sin 1.2 (2x 4)当 x 时， 2x ，0，2 44，54由正弦函数 ysin x 在 上的图象知，4，54当 2x ，即 x 时，f(x) 取得最大值 1；4 2 8 2当 2x ，即 x 时，f(x) 取得最小值 0.4 54 2综上，f(x) 在 上的最大值为 1，最小值为 0.0，2 2