2019秋人教A版数学必修5同步练习含解析：1.2.3三角形中的几何计算

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1、A 级 基础巩固一、选择题1在ABC 中，a，b，c 分别是角 A、B、C 的对边，a 5，b4，cos C ，则45ABC 的面积是( )A8 B6 C4 D2解析：因为 cos C ，C(0，)，45所以 sin C ，35所以 SABC absin C 54 6.12 12 35答案：B2在ABC 中，A60，b1，其面积为 ，则 等于( )3asin AA. B. C. D32393 2293 2633 3解析：面积 S bcsin A 1c ，312 12 32所以 c4，因为 a2b 2c 22bc cos A1 24 2214 13，12所以 .asin A 1332 2393答

2、案：A3在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD ，周长为 18，则这个平行四65 17边形的面积是( )A8 B16 C18 D32解析：在ABC 中，AC 2AB 2BC 22AB BCcos B65，即 AB2AD 22ABADcos B65，在ABD 中，BD 2AB 2AD 22AB ADcos A17，又 cos Acos B0.得 AB2AD 241.因为平行四边形的周长为 18，所以 ABAD 9，又 AB2AD 241，所以 AB4，AD5 或 AB5，AD4.所以 cos A ，AB2 AD2 BD22ABAD 35所以 sin A ，45故平行四边形的面积为 AB

3、ADsin A216.12答案：B4在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c， a1，B ，当ABC 的面3积等于 时，tan C 等于( )3A. B C2 D23 3 3解析：S ABC acsin B 1c ，12 12 32 3所以 c4，由余弦定理得 b2a 2c 22accos B13，所以 b ，13所以 cos C ，a2 b2 c22ab 113所以 sin C ，1213所以 tan C 2 .sin Ccos C 12 3答案：C5在ABC 中，已知 b2bc2c 20，且 a ，cos A ，则ABC 的面积等于( )678A. B. C2 D3152

4、 15解析：因为 b2bc2c 20，所以(b2c)(bc)0，所以 b2c.由 a2b 2c 22bc cos A，解得 c2，b4，因为 cos A ，所以 sin A ，78 158所以 SABC bcsin A 42 .12 12 158 152答案：A二、填空题6(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若b6，a2c， B ，则ABC 的面积为_3答案：6 37在ABC 中，已知 ab4，ac2b，且最大角为 120，则该三角形的周长为_解析：因为 ab4，所以 ab，又因为 ac2b，所以 b4c2b，所以 b4c，所以 abc.所以最大角为 A，所

5、以 A120 ，所以 cos A ，b2 c2 a22bc 12所以 b2c 2a 2bc ，所以 b2(b4) 2( b4) 2b(b4)，即 b2b 2168bb 2168bb 24b，所以 b10，所以 a14，c6.故周长为 30.答案：308在ABC 中，A ，BC2 ，D 是 AB 边上的一点，CD2，BCD 的面积为6 54，则 AC 的长是_解析：设BCD，因为 SBCD4 CDCBsin ，12所以 sin ，(0，) ，所以 cos .255 55在BCD 中，由余弦定理得BD2CD 2CB 22CDCBcos ，从而 BD4 或 BD4.2当 BD4 时，由 得 sin

6、B ，又由 得 AC2BDsin CDsin B CDsin BD 1010 ACsin B BCsin A2 ，BCsin BsinA 2当 BD4 时，同理可得 AC4.综上，AC4 或 AC2 .2答案：4 或 2 2三、解答题9.在ABC 中，B ，AB4 ，点 D 在 BC 上，且 CD3，4 2cosADC .55(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长解：(1)因为ADCADB ，且 cosADC ，55所以 cosADB ，55所以 sinADB ，1 cos2ADB255由B ADBBAD 得，sinBADsin(B ADB)sinBcos ADBcos BsinA

7、DB .22 ( 55) 22 255 1010(2)在ABD 中，由正弦定理得， ，BDsinBAD ABsinADB所以 BD 2，ABsinBADsinADB421010255由正弦定理得 ，ADsinB ABsinADB所以 AD 2 ，4222255 5在ADC 中，由余弦定理得AC2AD 2DC 22ADDCcosADC20922 3 17，555所以 AC .1710在ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，且满足 bsin Abcos Ac.(1)求 B；(2)若角 A 的平分线与 BC 相交于 D 点，AD AC ，BD2，求ABC 的面积解：(1)由题意，利用正

8、弦定理可得sin Bsin Asin Bcos Asin Csin(AB)，整理可得 sin Bcos B，所以 B .4(2)由 ADAC，可知ACDADC.设BADDAC ，ACDADC ，则 45 2 180， 2 180， )所以 30 ， 75，ABD 中，由正弦定理可得 ，ABsin 105 ADsin 45 2sin 30所以 AB ，AD2 ，所以 AC2 ，6 2 2 2所以 SABC ABACsin 23 .12 3B 级 能力提升1三角形的一边长为 14，这条边所对的角为 60，另两边之比为 85，则这个三角形的面积为( )A40 B20 C40 D203 3 2 2解析

9、：设另两边长为 8x，5x ，则 cos 60 ，64x2 25x2 14280x2 12解得 x2.所以两边长是 16 与 10，所以三角形的面积是 1610sin 6040 .12 3答案：A2在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a2 ，c2 ，13 2 ，则角 C 的值为_ tan Atan B 2cb解析：由正弦定理得 1 ，sin Acos Acos Bsin B 2sin Csin B即 ，sin（A B）sin Bcos A 2sin Csin B所以 cos A ， A(0，) ，A ，sin A ，12 3 32由 得 sin C ，又 ca，CA，所以 C .asin A csin C 22 4答案：43已知 x、y 均为正实数，且 x2y 23xy，求 xy 的最大值解：构造ABC ，角 A，B，C 的对边分别为 x，y， ，C60，由余弦定理知3x2y 23xy，即 x、y 满足已知条件因为 2 ，xsin A ysin B 3sin 60所以 x2sin A，y2sin B，所以 xy2(sin Asin B)2sin Asin(120 A)2 (sin A 32cos A 12sin A)2 3(32sin A 12cos A)2 sin(A30)3因为 0A120，所以当 A60时，x y 有最大值 2 .3