2019秋人教A版数学必修5同步练习含解析：2.2.2等差数列的性质

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1、A 级 基础巩固一、选择题1在等差数列a n中，a 1a 910，则 a5 的值为( )A5 B6 C8 D10解析：由等差数列的性质，得 a1a 92a 5，又因为 a1a 910，即 2a510，所以 a55.答案：A2数列a n满足 3a na n1 且 a2a 4a 69，则 log6(a5a 7a 9)的值是( )A2 B C2 D.12 12解析：因为 an1 a n3，所以a n为等差数列，且 d3.a2a 4a 693a 4，所以 a43，a5a 7a 93a 73(a 43d)3(333) 36，所以 log6(a5a 7a 9)log 6362.答案：C3由公差 d0 的等

2、差数列 a1，a 2，a n组成一个新的数列a1a 3，a 2a 4，a 3a 5，下列说法正确的是( )A新数列不是等差数列B新数列是公差为 d 的等差数列C新数列是公差为 2d 的等差数列D新数列是公差为 3d 的等差数列解析：因为(a n1 a n3 )( ana n2 )(a n1 a n)( an3 a n2 )2d，所以数列 a1a 3，a 2a 4，a 3a 5，是公差为 2d 的等差数列答案：C4在数列a n中，a 32，a 71，如果数列 是等差数列，那么 a11 等于( )1an 1A. B. C. D113 12 23解析：依题意得 2 ，1a3 1 1a11 1 1a7

3、 1所以 ，1a11 1 21 1 12 1 23所以 a11 .12答案：B5莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之17和，则最小的一份的量为( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个52 54 53 56解析：易得中间的一份为 20 个面包，设最小的一份的量为 a1，公差为 d(d0)，根据题意，有20(a 13d) (a 1 4d) a 1(a 1d) ，解得 a1 .17 53故最小一份的量为 个53答案：C二、填空题6在等差数列a n中，a 3，a 10 是方程 x2

4、3x 50 的根，则 a5a 8_解析：由已知得 a3a 103.又数列a n为等差数列，所以 a5a 8a 3a 103.答案：37正项数列a n满足 a11，a 22，2a a a (nN *，n2)，则2n 2n 1 2n 1a7_解析：由 2a a a (nN*，n2)，可得数列 a 是等差数列，公差2n 2n 1 2n 1 2nda a 3，首项 a 1，所以 a 13(n1) 3n 2，又a n为正项数列，2 21 21 2n所以 an ，所以 a7 .3n 2 19答案： 198已知数列a n满足 a11，若点 在直线 xy10 上，则(ann， an 1n 1)an_解析：由题

5、设可得 10，ann an 1n 1即 1，所以数列 是以 1 为公差的等差数列，且首项为 1，故通项公式an 1n 1 ann annn，所以 ann 2.ann答案：n 2三、解答题9已知等差数列a n中，a 1a 4a 715，a 2a4a645，求此数列的通项公式解：法一 因为 a1a 72a 4，a 1a 4a 73a 415，所以 a45.又因为 a2a4a645，所以 a2a69，即(a 42d)(a 4 2d)9，(52d)(5 2d)9，解得 d2.若 d2，a na 4(n4)d2n3；若 d2，a na 4(n4)d132n.法二 设等差数列的公差为 d，则由 a1a 4

6、a 715，得a1a 13da 16d15，即 a13d5，由 a2a4a645，得(a 1d)(a 1 3d)(a15d)45 ，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a 1d) (52d)9，解，组成的方程组，得 a11，d2 或 a111，d2，即 an12(n1)2n3，或 an112(n1)2n13.10四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为8，求这四个数解：设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)，依题意，2a2，且(a3d)( a3d)8，即 a1，a 29d 28，所以 d21，所以 d1 或 d1.又四个数成递增等差数列，所以 d0，

7、所以 d1，故所求的四个数为2，0，2，4.B 级 能力提升1若方程(x 22xm)( x22 xn) 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则14|m n| ( )A1 B.34C. D.12 38解析：设方程的四个根 a1，a 2，a 3，a 4 依次成等差数列，则 a1a 4a 2a 32，再设此等差数列的公差为 d，则 2a13d2，因为 a1 ，所以 d ，14 12所以 a2 ，14 12 34a3 1 ，14 54a4 ，14 32 74所以|m n|a 1a4a 2a3| .|1474 3454| 12答案：C2已知圆的方程为 x2y 26x 0，过点(1 ，2)的该圆的三条

8、弦的长 a1，a 2，a 3 构成等差数列，则数列 a1，a 2，a 3 的公差的最大值是_解析：如图，由 x2y 26x 0，得( x3) 2y 29，所以圆心坐标 C(3，0)，半径 r3，由圆的性质可知，过点 P(1， 2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于 6，最小值为过 P 且垂直于 CP 的弦的弦长，因为|CP | 2 ，（3 1）2 （0 2）2 2所以|AB|2 2，32 （22）2即 a12，a 36，所以公差 d 的最大值为 2.a3 a12 6 22答案：23在数列a n中，a 11，3a nan1 a na n1 0(n2，nN *)(1)求证：数列 是等差数列；1an(2)求数列a n的通项公式(1)证明：由 3anan1 a na n1 0，得 3(n2)1an 1an 1又因为 a11，所以数列 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列1an(2)解：由(1)可得 13(n1)3n2，1an所以 an .13n 2又当 n1 时，a 11，符合上式，所以数列a n的通项公式是 an .13n 2