2019秋人教A版数学必修5同步练习含解析：2.5.2等差、等比数列的综合应用

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1、A 级 基础巩固一、选择题1已知a n是首项为 1 的等比数列，S n 是a n的前 n 项和，且 9S3S 6，则数列 的1an前 5 项和为( )A. 或 5 B. 或 5158 3116C. D.3116 158解析：设a n的公比为 q，显然 q1，由题意得 ，所以 1q 39，得9（1 q3）1 q 1 q61 qq2，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，其前 5 项和为 .1an 121 (12)5 1 12 3116答案：C2设各项都是正数的等比数列a n，S n 为其前 n 项和，且 S1010，S 3070，那么 S40等于( )A150 B200C150 或200 D4

2、00解析：依题意，数列 S10，S 20S 10，S 30S 20，S 40S 30 成等比数列，因此有(S 20S 10)2S 10(S30S 20)即(S 2010) 210(70 S 20)，解得 S2020 或 S2030，又 S200，因此 S2030，S 20S 1020，S 30S 2040，故 S40S 3080，S 40150.答案：A3设a n为等比数列，b n为等差数列，且 b10，c na nb n，若数列 cn是1，1，2，则数列c n的前 10 项和为( )A978 B557 C467 D979解析：由题意可得 a11，设数列a n的公比为 q，数列b n的公差为

3、d，则 所以 q22q0，q d 1，q2 2d 2，)因为 q0，所以 q2，所以 d1，所以 an2 n1 ，b n(n1)( 1)1n，所以 cn2 n1 1n，设数列 cn 的前 n 项和为 Sn，所以 S10978.答案：A4一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为 24，则此等比数列的项数为( )A12 B10 C8 D6解析：设该等比数列的项数为 2n，依题意得 S 奇 a 1a 3a 5a 2n1 ，S 偶 a 2a 4a 6a 2na 1qa 3qa 2n1 qqS 奇因为 S 偶 2S 奇 ，所以 q2.又 ana n1 a

4、 1qn1 a 1qn2 n1 2 n32 n1 24，所以 2n1 82 3，所以 n13，解得 n4，所以 2n8.答案：C5在数列a n中，已知对任意 nN *，a 1a 2a 3a n3 n1，则a a a a 等于( )21 2 23 2nA(3 n1) 2 B. (9n1)12C9 n1 D. (3n1)14解析：因为 a1a 2a n3 n1，nN *，当 n2 时，有 a1a 2a n1 3 n1 1，所以当 n2 时，a n3 n3 n1 23 n1 ，又 n1 时，a 12 适合上式，所以 an23 n1 ，故数列a 是首项为 4，公比为 9 的等比数列2n因此 a a a

5、 (9n1) 21 2 2n4（1 9n）1 9 12答案：B二、填空题6数列a n中，a n 则它的前 n 项和 Sn_2n 1， n为 正 奇 数 ，2n 1， n为 正 偶 数 ， )解析：易知数列a n的奇数项为以 1 为首项，4 为公比的等比数列，偶数项是以 3 为首项，4 为公差的等差数列(1)当 n 为奇数时，奇数项有 项，偶数项有 项，n 12 n 12所以 Sn 4 ；1 4n 12 1 4 （n 1）32n 12 (n 12 1)2 2n 1 13 n2 n2(2)当 n 为偶数时，奇数项、偶数项各有 项，n2所以 Sn 3 4 .1 4n2 1 4 n2n2(n2 1)2

6、 2n 13 n2 n2答案：2n 1 13 n2 n2 ， n为 奇 数 ，2n 13 n2 n2 ， n为 偶 数 )7设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S1040，S 20120 ，则 S30_解析：由等比数列的性质，知 S10，S 20S 10，S 30S 20 也成等比数列，所以 S30S 20 160，（S20 S10）2S10 （120 40）240所以 S30280.答案：2808等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sna3 n1 ，则 a 的值为_解析：若数列a n是等比数列，则它的前 n 项和公式为 SnAAq n，其中 A ，a11 q而此数列 Sna33

7、 n，故 a3.答案：3三、解答题9已知在等比数列a n中，a 11，且 a2 是 a1 和 a31 的等差中项(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足 b12b 23b 3nb na n(nN *)，求b n的通项公式 bn.解：(1)由题意，得 2a2a 1a 31，即 2a1qa 1a 1q21，整理得 2qq 2.又 q0，解得 q2，所以 an2 n1 .(2)当 n1 时，b 1a 11；当 n2 时，nb na na n1 2 n2 ，即 bn ，2n 2n所以 bn 1，n 1，2n 2n ，n 2.)10已知a n是等差数列，b n是等比数列，且 b23，b 39

8、，a 1b 1，a 14b 4.(1)求a n的通项公式；(2)设 cna nb n，求数列c n的前 n 项和解：(1)设数列a n的公差为 d， bn的公比为 q，由 得b2 b1q 3，b3 b1q2 9，) b1 1，q 3. )所以b n的通项公式 bnb 1qn1 3 n1 ，又 a1b 11，a 14b 43 41 27，所以 1(141)d27，解得 d2.所以a n的通项公式 ana 1(n1) d1(n1)22n1(n1，2，3，)(2)设数列c n的前 n 项和为 Sn.因为 cna nb n2n13 n1 ，所以Snc 1c 2c 3c n2113 02213 12 3

9、13 22n13 n1 2(12n)n 2 n n 2 .30（1 3n）1 3 （n 1）n2 3n 12 3n 12即数列c n的前 n 项和为 n2 .3n 12B 级 能力提升1(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整

10、数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B330 C220 D110解析：设首项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3 组，依此类推，则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为 .n（1 n）2由题意知，N100，令 100n14 且 nN*，即 N 出现在第 13 组之后n（1 n）2第 n 组的各项和为 2 n1，前 n 组所有项的和为 n2 n1 2n.1 2n1 2 2（1 2n）1 2设 N 是第 n1 组的第 k 项，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则第 n1 组的前 k 项的和 2k1 应与 2n 互为相反数，即 2k12n(kN *， n14)

11、 ，klog 2(n3)n 最小为29，此时 k5 ，则 N 5440.29（1 29）2答案：A2在等比数列a n中，若 a1 ，a 44，则|a 1|a 2|a 3| an|_12解析：因为a n为等比数列，且 a1 ，a 44，12所以 q3 8，所以 q2，所以 an (2) n1 ，a4a1 12所以|a n|2 n2 ，所以 |a1| a2|a 3|a n| .12（1 2n）1 2 2n 12答案：2n 123(2016山东卷)已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 28n， bn是等差数列，且anb nb n1 .(1)求数列b n的通项公式；(2)令 cn ，求数列c n的前

12、 n 项和 Tn.（ an 1） n 1（ bn 2） n解析：(1)由题意知当 n2 时，a nS nS n1 6n5，当 n1 时，a 1S 111，所以 an6n5.设数列b n的公差为 d，由 a1 b1 b2，a2 b2 b3，)即 11 2b1 d，17 2b1 3d，)可解得 b14，d3，所以 bn3n1.(2)由(1)知 cn 3( n1)2 n1 ，（6n 6）n 1（3n 3）n又 Tnc 1c 2c 3c n，得 Tn32 2232 342 4(n1)2 n1 ，2Tn32 2332 442 5(n1)2 n2 ，两式作差，得T n322 22 32 42 n1 (n 1)2n2 3 3n2 n24 4（2n 1）2 1 （n 1）2n 2所以 Tn3n2 n2 .