2019-2020学年人教A版数学必修5:2.4等比数列(第2课时)学案(含解析)
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1、第二章 数列2.4 等比数列2.4 等比数列( 第 2 课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念; 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情境首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q0)
2、,即: . 2.等比数列的通项公式: . 二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即 G= (a,b 同号 ).如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则 ,反之,若 G2=ab,则 ,即 a,G,b 成等比数列. =(1)在等比数列a n中,是否有 =an-1an+1(n2)?2(2)如果数列a n中,对于任意的正整数 n(n2),都有 =an-1an+1,那么 an一定是等比数2列吗?分析:(1)由a n是等比数列,知 ,所以有 =an-1an+1(n2);-
3、1=+1 2(2)当数列为 0,0,0,0,时,仍有 =an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一2定;若数列a n中的每一项均不为零 ,且 =an-1an+1(n2,n N),则数列a n是等比数列,反之成2立.2.几个性质(1)已知 a1,a2,a3,an 是公比为 q 的等比数列,新数列 an,an-1,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得 = =q.21=32 -1所以 = ,由此可以看出 an,an-1,a2,a1是从第 2 项起,每一项与它的前一-1 23=12=1项的比值都等于 ,所以是首项为 ,公比为 的等比数列. 1(2)已知无穷等比数列a n
4、的首项为 a1,公比为 q.依次取出数列a n的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗 ?如果是,它的首项和公比分别是多少?数列ca n(其中常数 c0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:由 =q,得 an+1=anq,+1a3=a2q=a1q2,所以 =q2;a5=a4q=a3q2,所以 =q2;以此类推,可得, =q2,所以数31 53 2+12-1=2-122-1列a n的所有奇数项组成的数列是首项为 ,公比为 的等比数列. 因为 = =q,21=32 -1所以数列ca n(c0)是首项为 ca1,公比为 q 的等比数列.(3)已知数列a n是等比数列.
5、=a3a7是否成立? =a1a9成立吗?25 25 =an-1an+1(n1)是否成立?2 =an-kan+k(nk0)是否成立?2在等比数列中,m+n=p+k,a m,an,ap,ak 有什么关系呢?分析:设数列a n的公比为 q,则 a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6, q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)= q8,25=21 21所以 =a3a7,同理 =a1a9.25 25 =an-1an+1(n1)成立.2 =an-kan+k(nk0)成立.2由等比数列定义,得 am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1,aman= qm+n-2,
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