2019-2020学年人教A版数学必修2学案：2.3.3直线与平面垂直的性质

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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质学习目标1.探究直线与平面垂直的性质定理,培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力.合作学习一、设计问题,创设情境如图,长方体 ABCD-ABCD中,棱 AA,BB,CC,DD所在直线都垂直所在的平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系?二、信息交流,揭示规律问题 1:判断垂直于同一条直线的两条直线的位置关系 ?问题 2:能否找出恰当空间模型探究垂直于同一个平面的两条直线的位置关系?问题 3:用三种语言描述直线与平面垂直

2、的性质定理 .问题 4:如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用?三、运用规律,解决问题【例 1】 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.【例 2】 如图,已知 =l,EA 于点 A,EB 于点 B,a,aAB.求证:al.【例 3】 如图,已知 PA矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点.(1)求证:MNCD;(2)若PDA= 45,求证:MN平面 PCD.四、变式演练,深化提高1.如图,已知直线 ab,b,a.求证:a.2.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a.(1)求证:BD 1平面 B1AC;(2)求 B 到平面 B1AC 的距离.五、反思小

3、结,观点提炼六、作业精选,巩固提高课本 P74习题 2.3B 组第 1,2 题.参考答案二、问题 1:如图,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是: 相交、平行、异面.问题 2:可找出不同的空间模型 ,如图,长方体 ABCD-ABCD中,棱 AA,BB,CC,DD所在直线都垂直于所在的平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系?棱 AA,BB,CC,DD所在直线都垂直所在的平面 ABCD,它们之间互相平行 .问题 3:文字语言为:垂直于同一个平面的两条直线平行, 也可简记为线面垂直、线线平行.符号语言为: ba.图形语言为:如图问题 4:直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系,而且

4、揭示了平行与垂直之间的内在联系.三、 【例 1】 已知 a,b.求证:ab.证明:(反证法) 如图 ,假定 a 与 b 不平行,且 b=O,作直线 b,使 Ob,ab.直线 b与直线 b 确定平面 ,设 =c,则 Oc.a,b,ac,bc.ba,bc.又Ob,Ob,b,b ,ab显然不可能,因此 ba.【例 2】 证明:l平面 EAB., =又 a,EA,aEA.又 aAB,a平面 EAB.al.【例 3】 解:(1)证明:取 PD 中点 E,连接 NE、AE,又 N 为 PC 中点,则 NECD,NE= CD.12又 AMCD,AM= CD,12AM NE.四边形 AMNE 为平行四边形.M

5、NAE. CDAE.即 MNCD.平面 平面 平面 平面 (2)当PDA= 45时,RtPAD 为等腰直角三角形,则 AEPD.又 MNAE,MNPD,又由(1)知 MNCD,PDCD=D.MN平面 PCD.四、1.证明:在直线 a 上取一点 A,过 A 作 bb,则 b必与 相交,设交点为 B,过相交直线a,b作平面 ,设 =a,bb,ab,ab.b,bb,b.又 a,ba.由 a,b,a都在平面 内,且 ba,ba知 aa.a.2.解:(1)证明:ABB 1C,BC1B1C,B1C平面 ABC1D1.又 BD1平面 ABC1D1,B1CBD1.B1BAC,BDAC,AC平面 BB1D1D.又 BD1平面 BB1D1D,ACBD1.BD1平面 B1AC.(2)OBD,连接 OB1交 BD1于点 E.又 OAC,OB1平面 B1AC.BEOE,且 BE 即为所求距离. ,BE= OB= a= a.=1 1 2322 33五、知识总结:利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系 ,把空间问题转化为平面问题.