2018-2019学年人教A版必修二学案：第一章 空间几何体 章末复习

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1、章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面图化空间为平面的方法1几何体的概念、侧面积与体积名称 定义 图形 侧面积 体积棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S 侧 ch，c 为底面的周长，h 为高VSh棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S 正棱锥侧 ch，c 为12底面的周长，h为斜高V Sh，h 为13高多面体棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S 正棱台侧 (c c)12h

2、，c，c为上、下底面的周长，h为斜高V (S 上 S13下 )S上 S下h，h 为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S 侧 2rh，r为底面半径，h 为高V Sh r2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S 侧 rl，r 为底面半径，h为高，l 为母线V Sh r213 13h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分S 侧 (r 1r 2)l，r 1，r 2 为底面半径，l 为母线V (S 上 S13下 )S上 S下h (r r13 21 2r 1r2)h球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆

3、面旋转一周形成的旋转体S 球面4 R2，R 为球的半径V R3432.空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于 x，y ，z 轴的线段分别为平行于 x ，y，z轴的线段；截线段：平行于 x，z 轴的线段的长度不变，平行于 y 轴的线

4、段的长度变为原来的一半三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化. (3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线) 化为线段等积变换，如三棱锥转移顶点等复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等1菱形的直观图仍是菱形( )2正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )3多面体的表面积等于各个面的面积之和( )4简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )类型一 几何体的结构特征例 1 下列说法正确的是_(填序号)棱柱的侧棱长都相等；棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；夹在圆柱的两个平

5、行截面间的几何体还是一个旋转体；棱台的侧面是等腰梯形考点 空间几何体题点 空间几何体结构应用答案 解析 不正确，例如六棱柱的相对侧面；不正确，如图；不正确，侧棱长可能不相等反思与感悟 与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可跟踪训练 1 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形

6、的是_；(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转 180形成的封闭曲面所围成的图形是_；(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是_考点 空间几何体题点 空间几何体结构应用答案 (1)正六棱柱 (2) 圆台 (3) 一个圆锥和一个圆柱的组合体类型二 直观图与三视图例 2 (1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )考点 三视图与直观图题点 由部分视图确定其他视图答案 B解析 由正视图和俯视图可得该几何体如图所示，故选 B.(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A1 B.

7、 C. D22 3考点 多面体的三视图题点 棱锥的三视图答案 C解析 该四棱锥的直观图是如图所示的四棱锥 VABCD，其中 VB平面 ABCD，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，VB1，所以四棱锥中最长棱为 VD，连接 BD，由三视图可知 BD ，在VBD 中，VD 2 .故选 C.VB2 BD2 3反思与感悟 (1)空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等 ”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于 x，y ，z 轴的线段分别为平行于 x，y，z轴的线段；截线段，平行于x，z 轴的线段的

8、长度不变，平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半跟踪训练 2 (1)如图，在直角三角形 ABC 中，ACB90，ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为( )考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图答案 B解析 由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上半部分的圆锥比下半部分的圆锥高，所以正视图应为 B.(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 D解析 A 的正视图如图(1) ，B 的正视图如图(2) ，故均不符合题意； C 的俯视图如图(3) ，也不符合题意，

9、故选 D.类型三 空间几何体的表面积和体积例 3 如图所示，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E，F 依次是 AB，AC 的中点，ADBC，EH BC，FG BC，D ，H ，G 为垂足，若将ABC 绕 AD 旋转 180，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，S 锥表 R 2Rl 14812，S 柱侧 2rl 22 DGFG2 ，3所求几何体的表面积 SS 锥表 S 柱侧 122 2(6 ).3 3由 V 圆锥 BD2AD 222 ，13 13 3 833V 圆柱 HD 2EH1

10、2 ，3 3所求几何体的体积为V 圆锥 V 圆柱 .8 33 3 5 33反思与感悟 1.空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用2空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若 以 三 视 图 的 形 式 给 出 几 何 体

11、， 则 应 先 根 据 三 视 图 得 到 几 何 体 的 直 观 图 ， 然 后 根 据 条 件 求解 跟踪训练 3 如图所示，已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1底面ABC，则三棱锥 B1ABC 1 的体积为 ( )A. B. C. D.312 34 612 64考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 A解析 .1 111BACABCABCABCVV三三锥 锥 锥34 312 312 3121关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A棱锥的侧棱长都相等B三棱台的上、下底面是相似三角形C有的棱台的侧棱长都相等D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都

12、是母线 考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 A解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱锥考点 旋转体的三视图题点 圆柱的三视图答案 A3如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 12 B. 1892 92C942 D3618考点 三视图与直观图题点 由三视图求几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V 3332 18.43(32) 924某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A180 B200 C220 D240

13、考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积答案 D解析 由三视图可知该几何体是个四棱柱棱柱的底面为等腰梯形，高为 10.等腰梯形的上底为 2，下底为 8，高为 4，腰长为 5.所以梯形的面积为 420，梯形的周长为2 82282520.所以四棱柱的表面积为 2022010240.5如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，已知 D，E，F 分别为 AB，AC，AA 1 的中点，设三棱锥 AFED 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1V 2 的值为_考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 124解析 设三棱柱的高为 h，F 是 A

14、A1的中点， 三棱锥 FADE 的高为 ，h2D，E 分别是 AB，AC 的中点，S ADE SABC ，14V 1 SADE ，V 2S ABC h，13 h2 .V1V2 16S ADEhS ABCh 1241研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决2圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常是通过截面把空间问题转化为平面问题解决.一、选择题1下列说法正确的是( )A棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B底面是矩形的平

15、行六面体是长方体C棱柱的底面一定是平行四边形D棱锥的底面一定是三角形考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 A解析 平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故 A 正确；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故 B 错误；三棱柱的底面是三角形，故 C 错误；四棱锥的底面是四边形，故 D 错误故选 A.2下列说法不正确的是( )A圆柱的侧面展开图是一个矩形B圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形C四棱锥有五个顶点D用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形考点 空间几何体题点 空间几何体结构应用答案 C解析 由棱锥顶点定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选 C.3一个

16、简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：长方形；正方形；圆其中正确的是( )A BC D考点 三视图与直观图题点 由部分视图确定其他视图答案 B解析 根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形4算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V L2h.它136实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 V L2h 相当于将圆7264锥体积公式

17、中的圆周率 近似取为( )A. B.15750 258C. D.237 227考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 D解析 设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的底面周长 L2r， r ，V r2h .L2 13 L2h12令 L2h，得 ，故选 D.L2h12 7264 2275某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )考点 三视图与直观图题点 由部分视图确定其他视图答案 D解析 根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是 A；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视

18、图是 B；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是 C；D 为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立故选 D.6关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 B解析 由直观图的性质知 B 正确7某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是( )A13 B16 C25 D27考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 C解析 该几何体是底面为正方形的长方体，底面

19、对角线为 4，高为 3，长方体底面边长为 2 .2设长方体外接球半径为 r，则 2r 5，r ，222 222 3252长方体外接球的表面积 S4r 225. 故选 C.8一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.18 17 16 15考点 三视图与直观图题点 由三视图求几何体的表面积与体积答案 D解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为 V1 111 ，13 12 16剩余部分的体积 V21 3 .16 56所以

20、，故选 D.V1V21656 15二、填空题9如图，正方形 ABCD 的边长为 1， 所对的圆心角CDE90，将图形 ABCE 绕 AEACE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为_考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 5解析 由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，正方形 ABCD 的边长为 1，CDE90，球的半径是 1，圆柱的底面半径是 1，母线长是 1，形成的几何体的表面积 S1 22 11 4125.1210.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示) ，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的 ，则14油桶直立时，油的高度与桶的高

21、度的比值是_考点 柱体、锥体、台体的体积题点 柱体的体积答案 14 12解析 设圆柱桶的底面半径为 R，高为 h，油桶直立时油面的高度为 x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为 90，则 h R2x，所以 .(14R2 12R2) xh 14 1211如图，在上、下底面对应边的比为 12 的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1 的平面 A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为_考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案 34(或 43)解析 设三棱台的上底面面积为 S0，则下底面面积为 4S0，高为 h，则 (S04S

22、0 2S0)h S0h，1ABCV三三13 73S 0h.FE三三设剩余的几何体的体积为 V，则 V S0hS 0h S0h，73 43所以体积之比为 34 或 43.12用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 8解析 如图是棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.2三、解答题13如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体(不要

23、求写画法 )；(2)求这个几何体的表面积及体积考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积解 (1)该几何体如图所示，(2)该几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1QA 1D1P 的组合体由 PA1PD 1 cm，A 1D1AD2 cm，2可得 PA1PD 1.故所求几何体的表面积 S52 222 2 ( )2224 (cm2)，212 2 2所求几何体的体积 V2 3 ( )2210(cm 3)12 2四、探究与拓展14已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积

24、为( )A36 B64 C144 D256考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 C解析 如图所示，设球的半径为 R，AOB90，S AOB R2.12V 三棱锥 OABC V 三棱锥 CAOB ，而AOB 的面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，三棱锥 OABC 的体积最大，当动点 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，此时 V 三棱锥 OABC V 三棱锥 C AOB R2R R336，13 12 16解得 R6，则球 O 的表面积为 S4R 2144.故选 C.15如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分当以直径

25、 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积(其中BAC 30)考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 过 C 作 CO1AB 于点 O1，由已知得BCA90，BAC30，AB2R，AC R，BCR，CO 1 R.332S 球 4R 2， R R R2，1AOS圆 锥 侧32 3 32 RR R2，1BO圆 锥 侧32 32S 几何体表 S 球 1AO圆 锥 侧 1BS圆 锥 侧4 R2 R2 R2 R2.32 32 11 32又V 球 R3，43 AO1CO R2AO1，1AO圆 锥13 21 14 BO1CO R2BO1，1BV圆 锥13 21 14V 几何体 V 球 ( ) R3. 1AO圆 锥 1BV圆 锥56