2019-2020学年人教A版数学必修2学案:第二章点、直线、平面之间的位置关系本章小结
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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章小结学习目标重点:空间直线、平面的位置关系 ,直线、平面平行的判定定理和性质定理,直线、平面垂直的判定定理和性质定理.难点:空间中平行关系、垂直关系、平行与垂直关系之间的转化.合作学习一、知识结构 二、知识梳理 1.四个公理2.直线与直线的位置关系3.等角定理4.直线与平面的位置关系5.平面与平面的位置关系三、 【典例选讲】 【例 1】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证:(1)E,C,D1,F 四点共面;(2)CE,D1F,DA 三线共点.变式训练 1:如图,ABC 在平面 外,AB=P,BC
2、=Q,AC=R,求证: P,Q,R 三点共线.【例 2】 如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 CD,CC1 的中点,则异面直线A1M 与 DN 所成的角的大小是 . 变式训练 2:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小;(2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成的角的大小.【例 3】 如图,PA矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,(1)求证:MN平面 PAD;(2)求证:MNCD;(3)若二面角 P-DC-A 大小为 45,求证:平面 PMC平面 PDC.变式训
3、练 3:如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,ABD 为正三角形,CB=CD ,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120,M 为线段 AE 的中点,求证:DM 平面 BEC.四、作业布置必做题:1.设 l 是直线, 是两个不同的平面( )A.若 l,l,则 B.若 l,l,则 C.若 ,l,则 l D.若 ,l,则 l2.如图,在空间四边形 ABCD 中,MAB,NAD,若 ,则 MN 与平面 BDC 的位置关系=是 . 3.如图,在四面体 P-ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2 .F 是线段 PB 上34一点,CF= ,点 E 在线段 AB
4、 上,且 EFPB.证明 PB平面 CEF.151734选做题:如图 1,在 RtABC 中, C=90,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置,使 A1FCD,如图 2.(1)求证:DE 平面 A1CB;(2)求证:A 1FBE.参考答案二、1.四个公理及推论公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.公理 2:过不在一条直线上的三点 ,有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外一点 ,有且只有一个平面.推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 .推论 3:经过两条平行直线,有且
5、只有一个平面 .公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 .四个公理的作用:(1)公理 1:检验平面;判断直线在平面内;由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2)公理 2:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.(3)公理 3:判定两平面相交;作两平面相交的交线;证明多点共线.(4)公理 4:证明线线平行.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直 线 平行相交 异面直 线 (2)异面直线所成的角定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与
6、 b所成的锐角(或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) .范围:090.思考探究:如果两条直线没有任何公共点 ,则两条直线为异面直线,此说法正确吗?提示:不正确.如果两条直线没有公共点 ,则两条直线平行或异面.3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.直线与平面的位置关系(1)位置关系的分类直 线 在平面内直 线 在平面外 直 线 与平面平行直 线 与平面相交 (2)直线和平面平行的判定定义:直线和平面没有公共点 ,则称直线平行于平面;判定定理:a,b ,aba;其他判定方法: ,aa.(3)直线和平面平行的性质定理:a,a,=lal.(4)直
7、线与平面垂直的判定定义法;利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;推论:如果在两条平行直线中 ,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.思考探究:能否将直线与平面垂直的定义中的 “任意一条直线 ”改为“ 无数条直线”?提示:不可以.当这无数条直线平行时 ,直线 l 有可能在平面 内,或者 l 与平面 相交但不垂直.(5)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.垂直于同一个平面的两条直线平行.垂直于同一直线的两平面平行.(6)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.当直线与平
8、面垂直和平行(含直线在平面内 )时,规定直线和平面所成的角分别为 90和0.思考探究:如果两直线与一个平面所成的角相等 ,则这两直线一定平行吗?提示:不一定.这两条直线的位置关系可能平行、相交或异面.5.平面与平面的位置关系(1)位置关系的分类两个平面相交两个平面平行 (2)两个平面平行的判定定义:两个平面没有公共点 ,称这两个平面平行;判定定理:a,b ,ab=P,a,b;推论:ab=P ,a,b,ab=P,a,b.思考探究:如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面一定平行吗?提示:不一定.如果这无数条直线互相平行 ,则这两个平面就可能相交.(3)两个平面平行的性质定理,=a
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