人教A版高中数学选修1-1学案：1.4.1 全称量词_1.4.2 存在量词

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1、1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点 1 全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对 M 中任意一个x，有 p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x )，读作“对任意 x 属于 M，有p(x)成立”.【预习评价】思考 全称命题中的“x ， M

2、与 p(x)”表达的含义分别是什么？提示 元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围.p(x )表示集合 M 的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于 0”，可以表示为“x N，x 0”.知识点 2 存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在 M 中的元素x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为x 0M，p(x 0)，读作“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”.【预习评价】 (正确的打“

3、”，错误的打“”)(1)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题.( )(2)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略.( )(3)特称命题“ x0R，x 0”是真命题.( )20提示 (1)命题中含有存在量词“有些”，所以是特称命题，故(1)正确.(2)在特称命题中，量词不能省略，有些全称命题的量词可以省略，即(2)错误.(3)因为xR，x 20，所以命题“x 0R，x 0”是假命题，即(3)错误.20答案 (1) (2) (3)题型一 全称量词与全称命题【例 1】 试判断下列全称命题的真假：(1)xR，x 220 ；(2)xN，x 41；(3)对任意角 ，都有 sin2cos 21.解 (1)

4、由于x R，都有 x20，因而有 x2220，即 x220，所以命题“xR，x 220”是真命题.(2)由于 0N ，当 x0 时， x41 不成立，所以命题“ xN，x 41”是假命题.(3)由于 R，sin 2cos 21 成立.所以命题“对任意角 ，都有sin2cos 21”是真命题 .规律方法 判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x )都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个 x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.【训练 1】 试判断下列全称命题的真假：(1)xR，x 212；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解

5、(1)由于 0R，当 x 0 时，x 212 不成立，所以“ xR，x 212”是假命题.(2)当直线的倾斜角为 时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假2命题.(3)无论底数 a1 或是 01，2不存在 x0 R，使 cos x0 ，2“x 0R，cos x0 ”是假命题.2规律方法 判定特称命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题 p(x)为真，则特称命题为真，否则命题为假 .【训练 2】 试判断下列特称命题的真假：(1)x0Q，x 3；20(2)x0，y 0 为正实数，使 x y 0；20 20(3)x0R，tan x 01；(4)x0R，lg x 00.解

6、(1)由于使 x23 成立的数只有 ，而它们都不是有理数，因此没有任何一3个有理数的平方能等于 3，所以命题“x 0Q，x 3 ”为假命题.20(2)因为 x00，y 00，所以 x y 0，所以“x 0，y 0 为正实数，使 x y 0”20 20 20 20为假命题.(3)当 x0 时，tan 1，所以 “x0R，tan x 01”为真命题.4 4(4)当 x01 时，lg 10，所以 “x0R，lg x 00” 为真命题.考查方向 题型三 全称命题、特称命题的应用方向 1 根据特称命题的真假求参数的取值范围【例 31】 若命题 p：存在 x0R，使 ax 2x 0a0，20a0 时，x

7、0 2，1x00 1，2x0 1x0当 x01，) 1311规律方法 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.【训练 3】 (1)已知关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 的解集非空，求实数 a 的取值范围；(2)若命题 p： sin xcos x 是真命题，求实数 x 的取值范围1 sin 2x解 (1)关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 的解集非空，(2a1)24(a 22) 0，即 4a70，解得 a ，实数 a 的取值范围为 .74 74， )(2)由 sin xcos x，1 sin 2x得 sin x cos x，sin2x cos2x 2sin xcos x sin xcos x，（sin x cos x）2即|sin x cos x|sin x cos x，sin xcos x.结合三角函数图象得，2k x2k (kZ)，此即为所求 x 的取值范围.4 54