人教A版高中数学选修1-1学案：1.2.1 充分条件与必要条件

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1、1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.知识点 充分条件与必要条件一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p 可推出 q，记作 pq，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.(1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p 是 q 的充分条件只反映了 pq，与 q 能否推出 p 没有任何关系.(2)注意

2、以下等价的表述形式：p q；p 是 q 的充分条件； q 的充分条件是p；q 是 p 的必要条件；p 的必要条件是 q.(3)“若 p，则 q”为假命题时，记作“p q”，则 p 不是 q 的充分条件，q 不是p 的必要条件. 【预习评价】思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？答案 (1)充分条件 (2) 必要条件题型一 充分条件、必要条件【例 1】 给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似， q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：AB ， q：ABA；(4)p：a b，q ：acbc .试分

3、别指出 p 是 q 的什么条件.解 (1)两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，p 是 q 的必要不充分条件.(2)矩形的对角线相等，p q，而对角线相等的四边形不一定是矩形， q p.p 是 q 的充分不必要条件.(3)pq，且 qp，p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件.(4)p q，且 q p，p 是 q 的既不充分也不必要条件.规律方法 本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断 p 是不是 q 的充分条件，就要看 p 能否推出 q，要判断 p 是不是

4、q 的必要条件，就要看 q 能否推出 p.【训练 1】 指出下列哪些命题中 p 是 q 的充分条件？(1)在ABC 中，p：AB，q：BC AC.(2)对于实数 x，y，p：xy8，q：x 2 或 y6.(3)在ABC 中，p：sin Asin B，q：tan A tan B.(4)已知 x，yR，p：x1，q：(x 1)(x2)0.解 (1)在ABC 中，由大角对大边知，A BBCAC，所以 p 是 q 的充分条件.(2)对于实数 x，y，因为 x2 且 y6xy8，所以由 xy8x 2 或 x6，故 p 是 q 的充分条件.(3)在ABC 中，取A120 ，B30，则 sin Asin B

5、，但 tan A0 的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由.解 由 x2x20 解得 x2 或 x2 或 x0，p4当 p4 时，4x p0 的充分条件.规律方法 (1)设集合 A x|x 满足 p，Bx| x 满足 q，则 pq 可得AB；qp 可得 BA；若 p 是 q 的充分不必要条件，则 AB.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.【训练 2】 已知 M x|(xa) 21 或 x1 或 x1 或 x1 或 xb”是“a|b|” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既

6、不充分也不必要条件解析 由 a|b|ab，而 ab 推不出 a|b|.答案 B3.若 aR，则“a1”是“|a| 1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法判断解析 当 a1 时，|a|1 成立，但|a|1 时，a1，所以 a1 不一定成立.“a1”是“|a|1”的充分条件.答案 A4.“a0”是“函数 f(x) |(ax1) x|在区间(0 ，)内单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既充分也必要条件D.既不充分也不必要条件解析 f( x)|(ax 1)x|在区间(0 ，)内单调递增等价于 f(x)0 在区间(0， ) 内无实根，即 a0 或 0 ”的充分不必要条件，求 m 的取值范围.解 由(x1)( x2)0 可得 x2 或 x2 或 x1.m1.课堂小结1.充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证 pq，只需证它的逆否命题qp 即可；同理要证 qp，只需证p q 即可.(3)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组) 进行求解.