人教A版高中数学选修1-1学案：1.1.2 四种命题_1.1.3 四种命题间的相互关系

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1、1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.知识点 1 四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题(2)互否命题：对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对

2、于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.【预习评价】“正数 a 的平方大于零”的逆否命题为_.答案 若 a 的平方不大于零，则 a 不是正数知识点 2 四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)一个命题的逆命题和否命题是等价命题.( )(2)原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数可能为 0，2 或 4.( )(3)命题“若 ab0，则 a0

3、 且 b0”为真.( )提示 (1)由于逆命题和否命题互为逆否命题，故二者等价.(2)由于原命题与逆否命题同真同假、逆命题与否命题同真同假，故四个命题中真命题的个数可能为 0，2 或 4.(3)原命题的逆否命题为：若 a0 或 b0，则 ab0，易知其是真命题，故原命题为真命题.答案 (1) (2) (3)题型一 四种命题的概念【例 1】 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)若 mnb，则 AB.解 (1)逆命题：若方程 mx2xn0 有实数根，则 mn0 且 n0，则 mn0，真命题.逆否命题：若 mn0，则 m0 且 n0，假命题.(4)逆命题：在 ABC 中，若

4、AB，则 ab，真命题 .否命题：在ABC 中，若 ab，则AB，真命题.逆否命题：在ABC 中，若AB，则 ab，真命题规律方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.【训练 1】 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若 x2y 20，则 x，y 全为零；(2)若在二次函数 yax 2bxc(a0) 中，b 24ac bc2，则 ab”的逆命题.其中是真命题的是_(填序号).解析 “若

5、 xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是 “若 x，y 互为倒数，则xy1”，是真命题；“ 四条边相等的四边形是正方形 ”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若 ac2bc2，则 ab”的逆命题是“若 ab，则 ac2bc2”，是假命题.所以真命题是.答案 规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.【训练 2】 下列命题为真命题的是( )“若 x2y 20，则 x，y 不全为零”的否命题；“正三角形都相似

6、”的逆命题；“若 m0，则 x22xm0 有实根”的逆否命题；“若 x 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题.2A. B. C. D.解析 原命题的否命题为“若 x2y 20，则 x，y 全为零”，故为真命题.原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.原命题的逆否命题为“若 x22x m0 无实根，则 m0”.方程无实根，判别式 44m0，即抛物线与 x 轴有交点，所以关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真 .方向 2 证明数学命题【例 32】 证明：若 a24b 22a10，则 a2b1.证明 “若 a24b

7、 22a10，则 a2b1”的逆否命题为“若 a2b1，则 a24b 22a10”.a2b1，a 24b 22a1(2b1) 24b 22(2b1)14b 214b4b 24b210.命题“若 a2b1，则 a24b 22a10”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.规律方法 因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法.【训练 3】 判断命题“若 m0，则方程 x22x3m0 有实数根”的逆否命题的真假.解 方程 x2 2x3m0 的判别式 12m

8、4，m0，0 ，原命题“若 m0，则方程 x22x3m0 有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m0，则方程 x22x3m0 有实数根”的逆否命题也为真.课堂达标1.命题“若 aA，则 bB”的否命题是( )A.若 aA，则 bB B.若 aA，则 bBC.若 bB，则 aA D.若 bB，则 aA解析 命题“若 p，则 q”的否命题是“若p，则q”，“”与“”互为否定形式.答案 B2.命题“若 ABA ，则 AB B”的逆否命题是 ( )A.若 AB B，则 AB AB.若 ABA，则 AB BC.若 ABB，则 AB AD.若 AB B，则 AB A解析 注意“ABA ”

9、的否定是“AB A”.答案 C3.命题“若平面向量 a， b 共线 ， 则 a， b 方向相同”的逆否命题是_，它是_命题(填“真”或“假”).答案 若平面向量 a，b 的方向不相同，则 a，b 不共线 假4.给出以下命题：“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题.其中为真命题的是_(填序号).解析 否命题是“若 a，b 不都是偶数，则 ab 不是偶数”.假命题.逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.14m，m0 时，0 ，x 2xm0 有实根，即原命题为真.逆否命题为真.答案 5.“若 sin ，则 ”的逆否命题是“_”，逆否命题是12 6_命题(填“真”或“假”).解析 逆否命题是“若 ，则 sin ”，是假命题.6 12答案 若 ，则 sin 假6 12课堂小结1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件 p 和结论 q；(2)写出条件 p 的否定p 和结论 q 的否定q；(3)按照四种命题的结构写出所求命题.2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.