人教A版高中数学选修1-1学案：2.2.2 双曲线的简单几何性质

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1、2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点 双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图形范围 xa 或 xa ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a，0) ，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴渐近线 y xbay xab性质离心率 e ，e (1，)ca(2

2、)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是 yx .【预习评价】思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是 e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示 (1)不一样 .椭圆的离心率 01.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线 y x 的双曲线可设为ba ( 0，R)，当 0 时，焦点在 x 轴上，当 0，b0)，则 .x2a2 y2b2 ba 12A(2，3)在双曲线上， 1.4a2 9b2联立，无解.若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 .y2a2

3、 x2b2 ab 12A(2，3)在双曲线上， 1.9a2 4b2联立，解得 a28，b 232.所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232方法二 由双曲线的渐近线方程为 y x，可设双曲线方程为 y 2( 0)，12 x222A(2，3)在双曲线上， ( 3) 2，即 8.2222所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成 mx2ny 21(mn 0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为 y x 时，可以将

4、方程设为ba ( 0).x2a2 y2b2【训练 2】 根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线 1 有共同渐近线，且过点(3，2 )；x29 y216 3(2)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2).x216 y24 2解 (1)设所求双曲线方程为 ( 0)，x29 y216由题意可知 ，解得 .（ 3）29 （23）216 14所求双曲线的标准方程为 1.x294 y24(2)设所求双曲线方程为 1(16k0 ，4k0)，x216 k y24 k双曲线过点(3 ，2)，2 1，（32）216 k 44 k解得 k4 或 k14(舍去 ).所求双曲线的标准方程为 1.x212 y2

5、8典例迁移 题型三 直线与双曲线的位置关系【例 3】 直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求直线 lx23 y22的方程.解 设直线 l 的方程为 y2x m，由 得 10x212mx 3(m 22)0.(*)y 2x m，x23 y22 1，)设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得 x1x 2 m，x 1x2 (m22)65 310又 y12x 1m，y 22x 2m，y 1y 22(x 1x 2)，|AB| 2(x 1 x2)2( y1y 2)25(x 1x 2)25(x 1x 2)24x 1x25 .3625m2

6、 4310（m2 2）|AB|4， m26(m 22) 16.3653m 270，m .2103由(*)式得 24m 2240，把 m 代入上式，2103得 0，m 的值为 .2103所求直线 l 的方程为 y2x .2103【迁移】 在例 3 中若直线 l 的方程为 ykx ，并且直线 l 与双曲线 1x23 y22的两支各有一个交点，求实数 k 的取值范围.解 由 得(23k 2)x260，设直线与双曲线的交点坐标分别为x23 y22 1，y kx )(x1， y1)，(x 2，y 2)，由题意知 解得 k ，即实数2 3k2 0， 24（2 3k2） 0，x1x2 62 3k2 0，)

7、63 63k 的取值范围是 .( 63，63)规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y 的一元二次方程 .要注意根与系数的关系，根的判别式的应用 .若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.【训练 3】 设双曲线 C： y 21(a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的x2a2点 A，B .(1)求实数 a 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若 ，求 a 的值.PA 512PB 解 (1)将 yx1 代入双曲线方程 y 21(a0)，x2a2得(1 a2)x22a 2x2a 20. 依题

8、意有 1 a2 0， 4a4 8a2（1 a2）0，)00，解得 a .2a21 a2 28960 1713课堂达标1.双曲线 1 的渐近线方程为 ( )x216 y29A.3x4y0 B.4x3y0C.9x16y0 D.16x9y0解析 由 1 得 a216，b 29，x216 y29渐近线方程为 y x，即 3x4y0.34答案 A2.双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为( )A. B.4 C.4 D.14 14解析 由双曲线方程 mx2y 21，知 mb，所以只有B 1F1B260，tan 30 ，c b，bc 3又 a2c 2b 22b 2，e .ca 3b2b 62答案 62课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程 1 x2a2 y2b2(a0，b0)右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程 axby0变为 a2x2b 2y2(0)，再结合其他条件求得 ，可得双曲线方程2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形