人教A版高中数学选修1-1学案：第二章 圆锥曲线与方程章末复习课

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1、章末复习课网络构建核心归纳1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系解决相关问题；准确理解参数 a，b，c，e 的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.要点一 数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结

2、合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.【例 1】 双曲线 1(a0，b0) 的左、右焦点分别为 F1，F 2，若 P 为双x2a2 y2b2曲线上一点，且|PF 1|2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( )A.(1， 3) B.(1，3C.(3，) D.3，)解析 如图所示，由|PF 1|2|PF 2|知 P 在双曲线的右支上，则|PF 1|PF 2|2a，又|PF 1|2|PF 2|，|

3、PF 1|4a， |PF2|2a，在F 1PF2 中，由余弦定理得cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ，16a2 4a2 4c224a2a 54 c24a2 54 e2401，解得 10)上有 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，C (x3，y 3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，| CF|成等差数列，则( )A.x1，x 2，x 3 成等差数列B.y1，y 2，y 3 成等差数列C.x1，x 3，x 2 成等差数列D.y1，y 3，y 2 成等差数列解析 如图，过 A，B，C 分别作准线的垂线，垂足分别为 A，B ，C，由抛物线定

4、义知：|AF|AA|，|BF |BB |，|CF| |CC |.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x 1 ，p2|BB|x 2 ，|CC|x 3 ，p2 p22 x 1 x 3 2x2x 1x 3，(x2 p2) p2 p2选 A答案 A要点二 分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.【例 2】 如果双曲线的两

5、条渐近线的方程为 y x，求此双曲线的离心率.34解 当双曲线的焦点在 x 轴上时，由已知可得 ，ba 34c 2a 2b 2，e 2 1 ，(ca)2 a2 b2a2 b2a2 2516双曲线的离心率 e ；54同理，当焦点在 y 轴上时，可求得离心率 e .53故双曲线的离心率为 或 .54 53【训练 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 P(2，6)；(2)椭圆过点 P(2，0)，且 e .22解 (1)设椭圆的标准方程为 1 或 1(ab0).x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 a2b.椭圆过点 P(2，6)， 1 或 1.

6、4a2 36b2 36a2 4b2由得 a2148，b 237 或 a252，b 213.故所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x2148 y237 y252 x213(2)当焦点在 x 轴上时，椭圆过点 P(2，0)，a2.又 ，c .ca 22 2b 2a 2c 22.此时椭圆的标准方程为 1.x24 y22当焦点在 y 轴上时， 椭圆过点 P(2，0)，b2.又 ， ，a 28.ca 22 a2 b2a 22此时椭圆的标准方程为 1.y28 x24故所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x24 y22 y28 x24要点三 函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则

7、往往能较快地找到解题的突破口.最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.【例 3】 已知椭圆 ax2 by21(a0，b0 且 a b)与直线 xy10 相交于A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 ，O

8、C 的斜率为 ，求椭圆的方程.222解 方法一 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1x 2)(x1 x2)b(y 1y 2)(y1y 2)0.A，B 为直线 xy10 上的点， 1.y1 y2x1 x2由已知得 k OC ，代入式可得 b a.y1 y2x1 x2 22 2直线 xy10 的斜率 k1.又|AB| |x2x 1| |x2x 1|2 ，1 k2 2 2|x 2x 1|2.联立 ax2by 21 与 xy10 可得(ab)x 22bxb10，且由已知得 x1，x 2 是方程 (ab)x 22bxb10 的两根，x 1x 2 ，x 1x2 ，

9、2ba b b 1a b4(x 2x 1)2(x 1x 2)24x 1x2 4 .(2ba b)2 b 1a b将 b a 代入式，解得 a ，b .213 23所求椭圆的方程是 y21.x23 23方法二 由 ax2 by2 1，x y 1 0，)得(a b)x22bxb10.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2ba b b 1a b且直线 AB 的斜率 k1，|AB| （k2 1）（x1 x2）2 （k2 1）（x1 x2）2 4x1x2 .24b2 4（a b）（b 1）a b|AB|2 ， 2 ，22 4b2 4（a b）（b 1）a b 2

10、 1.a b aba b设 C(x，y)，则 x ，y 1x .x1 x22 ba b aa bOC 的斜率为 ，22 ，将其代入式得，a ，b .ab 22 13 23所求椭圆的方程为 y21.x23 23【训练 3】 若双曲线 1(a0) 的离心率为 ，则 a_.x2a2 y216 53解析 由离心率公式，有 (a0)，得 a3.故填 3.a2 16a2 (53)2 答案 3要点四 化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直

11、线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组) 问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.【例 4】 已知点 A(4， 2)，F 为抛物线 y28x 的焦点，点 M 在抛物线上移动，当|MA| |MF|取最小值时，点 M 的坐标为( )A.(0， 0) B.(1，2 )2C.(2，4) D.(12， 2)解析 过点 M 作准线 l 的垂线，垂足为 E，由抛物线定义知|MF| ME|.当点 M 在抛物线上移动时，|MF| |MA|的值在变化，显然 M 移到 M，AM Ox 时，A，M，E 共线，此时|ME| MA|最小，把 y2

12、代入 y28x，得 x ，12M .(12， 2)答案 D【训练 4】 已知向量 a(x， y)，b(1，0)，且(a b)(a b).3 3 3(1)求点 Q(x， y)的轨迹 C 的方程；(2)设曲线 C 与直线 ykxm 相交于不同的两点 M，N ，又点 A(0，1)，当|AM| |AN|时，求实数 m 的取值范围.解 (1)由题意得，a b( x ， y)， a b( x ， y)，3 3 3 3 3 3(a b)( a b)，3 3(a b)(a b)0，3 3即(x )(x ) y y0，3 3 3 3化简得 y 21，x23点 Q 的轨迹 C 的方程为 y 21.x23(2)由 y kx m，x23 y2 1)得(3k 21)x 26mkx3(m 21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，0 ，即 m2m2，解得 00，解得 m ，2m 13 12故 m 的取值范围是 .(12，2)()当 k0 时，|AM |AN |，APMN，m 23k21 即为 m21，解得1 m1.综上，当 k 0 时，m 的取值范围是 ，(12，2)当 k0 时， m 的取值范围是(1，1).