人教A版高中数学选修1-1学案：3.1.1 变化率问题_3.1.2 导数的概念

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1、3.1 变化率与导数31.1 变化率问题31.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点 1 函数的变化率定义 实例平均变化率函数 yf(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率为，f（x2） f（x1）x2 x1简记作：yx平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数 yf(x) 在 xx 0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0x 的平均变化率在 x0 时的极限，即0limxf（x0 x） f（x0）x 0limyx瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率【预习评价】若一质点的运动方程为 st

2、 21，则在时间段1，2中的平均速度是_解析 3.v （22 1） （12 1）2 1答案 3知识点 2 函数 f(x)在 xx 0 处的导数函数 yf(x) 在 xx 0 处的瞬时变化率 0limxlimx 0 yx 0limlim x 0称为函数 yf(x)在 xx 0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx 0，即f（x0 x） f（x0）xf(x0) .limx 0yx lim x 0f（x0 x） f（x0）x【预习评价】设 f(x)2x1，则 f(1)_解析 f(1) limx 0f（1 x） f（1）x2.0lixlimx 02（1 x） 1 （21 1）x答案 2题型一 平均变

3、化率【例 1】 已知函数 h(x)4.9x 26.5x10.(1)计算从 x1 到 x1x 的平均变化率，其中 x 的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当 x 越来越小时，函数 h(x)在区间1，1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)yh(1 x )h(1)4.9( x)23.3x， 4.9 x3.3.yx当 x2 时， 4.9x3.313.1；yx当 x1 时， 4.9x3.38.2；yx当 x0.1 时， 4.9x3.33.79；yx当 x0.01 时， 4.9x3.33.349yx(2)当 x 越来越小时，函数 f(x)在区间1，1x上的平均变化率逐渐变大，

4、并接近于3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量 yf(x 2)f(x 1)(2)再计算自变量的改变量 xx 2x 1.(3)得平均变化率 .yx f（x2） f（x1）x2 x1【训练 1】 求函数 f(x) 3x22 在区间x 0，x 0 x上的平均变化率，并求当x02，x0.1 时平均变化率的值解 函数 f(x)3x 22 在区间x 0，x 0x 上的平均变化率为f（x0 x） f（x0）（x0 x） x0 6x 0 3x.6x0x 3（x）2x当 x02，x0.1 时，函数 y3x 22 在区间2，2.1上的平均变化率为6230.112.3.题型二 物体运动

5、的瞬时速度【例 2】 一辆汽车按规律 s2t 23(时间单位：s，位移单位：m)做直线运动，求这辆汽车在 t2 s 时的瞬时速度解 设在 t2 s 附近的时间增量为 t，则位移的增量 s2(2 t) 23(2 223)8t2(t) 2.因为 82 t， (82t )8，st lim t 0tst lim t 0t所以这辆汽车在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s.规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位移增量 ss(t 0t )s(t 0)；(2)求时间 t0到 t0 t 之间的平均速度 ，v st

6、(3)求 的值，即得 tt 0时的瞬时速度limt 0tst【训练 2】 一质点按规律 s(t)at 22t1 做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在 t1 s 时的瞬时速度为 4 m/s，求常数 a 的值解 ss(1 t)s(1)a(1t) 22(1 t)1(a3)a(t) 2(2a2)t， a t2a2.st在 t1 s 时，瞬时速度为 2a2，即 2a24，a1.limt 0tst考查方向 题型三 求函数在某点处的导数方向 1 求函数在某点处的导数【例 31】 求函数 f(x)3x 22x 在 x1 处的导数解 y3(1 x)22(1x)(3 1221)3(x) 24x，

7、 3x4，yx 3（x）2 4xxy| x=1 (3x4)4.limx 0yx lim x 0方向 2 已知函数在某点处的导数求参数【例 32】 已知函数 yax 在 x1 处的导数为 2，求 a 的值1x解 ya(1 x) ax ，11 x (a 11) x1 x a ，yx ax x1 xx 11 x a12，从而 a1.limx 0yx lim x 0(a 11 x)规律方法 求一个函数 yf(x )在 xx 0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量 yf(x 0 x)f(x 0)；(2)求平均变化率 ；yx f（x0 x） f（x0）x(3)取极限，得导数 f(x0) .limx

8、0yx【训练 3】 利用导数的定义求函数 f(x)x 23x 在 x2 处的导数解 由导数的定义知，函数在 x2 处的导数f(2) ，而 f(2x)f(2)(2x) 23(2x)limx 0f（2 x） f（2）x3(2 2 32)( x)2 x，于是 f(2) ( x1)1.limx 0 （x）2 xx lim x 0课堂达标1如果质点 M 按规律 s3t 2 运动，则在时间段2，2.1中相应的平均速度是( )A4 B4.1 C0.41 D3解析 4.1.v （3 2.12） （3 22）0.1答案 B2函数 f(x)在 x0 处可导，则 ( )limh 0f（x0 h） f（x0）hA与

9、x0，h 都有关B仅与 x0 有关，而与 h 无关C仅与 h 有关，而与 x0 无关D与 x0，h 均无关答案 B3若质点 A 按照规律 s3t 2 运动，则在 t3 时的瞬时速度为( )A6 B18 C54 D81解析 因为 st 3（3 t）2 332t 183t，所以 18.18t 3（t）2t lim t 0tst答案 B4若一物体的运动方程为 s7t 28，则其在 t_时的瞬时速度为 1.解析 7t14t，st 7（t t）2 8 （7t2 8）t当 (7t14t) 14t1 时，t .limt 0t114答案 1145已知函数 f(x) ，则 f(1)_x解析 f(1) limx 0f（1 x） f（1）x limx 01 x 1x .limx 011 x 1 12答案 12课堂小结利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量 yf(x 0 x)f(x 0)；(2)作比求平均变化率 ；yx f（x0 x） f（x0）x(3)取极限得导数 f(x0) .limx 0yx简记为一差、二比、三极限.