人教A版高中数学选修1-1学案:3.3.3 函数的最大(小)值与导数
《人教A版高中数学选修1-1学案:3.3.3 函数的最大(小)值与导数》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版高中数学选修1-1学案:3.3.3 函数的最大(小)值与导数(11页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、3.3.3 函数的最大( 小)值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点 1 函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值(1)函数 f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在a,b上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数 yf(x)在a,b上最值的步骤求函数 y f(x)在(a,b)内的极值.将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【预习评价】函数 f(x) x3x 23x 6 在4,4 上的最大值为
2、_,最小值为13_.解析 f( x)x 22x3,令 f(x)0,得 x1 或 x3,令 f(x)0,得1x3,故 f(x)在(,1),(3,)上单调递增,在(1,3)上单调递减,故 f(x)的极大值为 f(1) ,极小值为 f(3) 3,又 f(4) ,f (4)233 583 ,故 f(x)的最大值为 f(1) ,最小值为 f(4) .23 233 583答案 233 583知识点 2 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部) 而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内,极大(小) 值可能有多个,但最大(小)值只有一个( 或者没有).(3)函数 f(x
3、)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数,函数的最大(小) 值必在极大(小) 值点或区间端点处取得.如图是 yf(x )在区间a,b上的函数图象.显然 f(x1),f (x3),f(x 5)为极大值,f(x 2),f(x4),f(x 6)为极小值.最大值 yMf( x3)f(b)分别在 xx 3 及 xb 处取得,最小值 ymf(x 4)在 xx 4 处取得 .【预习评价】 (正确的打“”,错误的打“”)(1)函数 yf(x)的极大值和最大值相等.( )(2)函数 yf(x)的最大值不小于其最小值.( )(3)函数的最大值和极大值都可能有多个.( )提示 (1)
4、当最大值是极大值时,二者相等,否则极大值小于最大值,故(1)错(2)由最值的定义可知(2) 正确 .(3)最大值可能没有,若有则只有一个,而极大值可能没有也可能有多个,故(3)错.答案 (1) (2) (3)题型一 求函数在闭区间上的最值【例 1】 求下列各函数的最值:(1)f(x) 2x36x 23,x 2,4;(2)f(x) x33x 26x 2, x1,1.解 (1)f(x) 6x 212x 6 x(x2).令 f(x)0,得 x0 或 x2.当 x 变化时, f(x),f(x) 的变化情况如下表x 2 (2,0) 0 (0,2) 2 (2,4)4f(x) 0 0 f(x) 37 极大值
5、 3 极小值5 35当 x4 时, f(x)取最大值 35.当 x2 时, f(x)取最小值37,即 f(x)的最大值为 35,最小值为 37.(2)f(x)3x 26x 63(x 22x2)3(x 1) 23,f(x)在1 ,1 内恒大于 0,f(x)在1, 1上为增函数.故 x1 时, f(x)最小值 12;x1 时,f(x) 最大值 2,即 f(x)的最小值为12,最大值为 2.规律方法 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一步.若仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.求出导数为零的点.比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间a,b上连续且单调
6、,则最大、最小值在端点处取得.【训练 1】 求下列函数的最值:(1)f(x) xsin x,x 0, 2;12(2)f(x) ex ex,x0,a,a 为正实数.解 (1)f(x) cos x,x0 ,212令 f(x)0,得 x 或 x .23 43当 x 变化时, f(x),f(x) 的变化情况如下表:x 0 (0,23) 23 (23,43) 43 (43,2) 2f(x) 0 0 f(x) 0 单调递增 A3 32 单调递减 A23 32 单调递增 A所以当 x0 时,f (x)有最小值 f(0)0;当 x2 时, f(x)有最大值 f(2),即 f(x)的最小值为 0,最大值为 .(
7、2)f(x) (e x) e x .(1ex) 1ex 1 e2xex当 x0,a时,f(x)0 恒成立,即 f(x)在0 , a上是减函数.故当 xa 时, f(x)有最小值 f(a)e a e a;当 x0 时, f(x)有最大值 f(0)e 0 e 00,即 f(x)的最小值为 ea e a,最大值为 0.题型二 含参数的函数的最值问题【例 2】 已知函数 f(x) x33x 29xa.(1)求 f(x)的单调递减区间;(2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.解 (1)f(x) 3x 26x 93(x 1)(x3).令 f(x)0,得 x1 或 x3,故
8、函数 f(x)的单调递减区间为 (,1),(3,).(2)因为 f(2)81218a2a,f(2)812 18a22 a,所以 f(2)f(2).因为在(1,3) 上 f(x)0,所以 f(x)在 1,2 上单调递增,所以 f(1) 是 f(x)的最小值,且 f(1)a5,所以 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值,于是有 22a20,解得 a2.所以 f(1) 25 7,即函数 f(x)在区间2,2上的最小值为7.规律方法 函数的最值与极值及单调性密切相关,因而在求解函数的最值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数最值与极值的有力工具.【训练
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教 高中数学 选修 3.3 函数 最大 导数
链接地址:https://www.77wenku.com/p-76250.html