苏教版高中数学必修1学案：2.1.2 函数的表示方法

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1、21.2 函数的表示方法学习目标 1.掌握函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法(重点)；2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数(难点)；3.掌握分段函数，并能简单应用(重点)预习教材 P3334，完成下面问题：知识点一 函数的三种表示方法表示法 定义解析法 用等式表示两个变量之间的函数关系图象法 用图象表示两个变量之间的函数关系列表法 用列表表示两个变量之间的函数关系【预习评价】 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？提示 (1)三种表示方法的优、缺点比较：优点 缺点解析法简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式

2、求出任意一个自变量所对应的函数值；便于研究函数的性质不够形象、直观列表法不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如 D(x)Error!列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数【预

3、习评价】某市规定出租车收费标准：起步价(不超过 2 km)为 5 元超过 2 km 时，前 2 km 依然按 5 元收费，超过 2 km 部分，每千米收 1.5 元按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额 y 元是行驶里程 x km 的函数吗？当 x0,2时的计费方法与 x(2，)时计费方法一样吗？提示 因为任一行驶里程 x 都对应唯一的收费额 y，故 y 是 x 的函数；但由于起步价的规定，x 0,2时， y5，x(2，)时，y5(x 2)1.5.计费方法不一样题型一 列表法表示函数【例 1】 已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出x 1 2 3f(

4、x) 1 3 1x 1 2 3g(x) 3 2 1则 f(g(1)的值为_；满足 f(g(x)g(f(x)的 x 的值是_解析 g(1)3，f(g(1)f(3)1.f(g(x)与 g(f(x)与 x 相对应的值如下表所示.x 1 2 3f(g(x) 1 3 1g(f(x) 3 1 3f(g(x) g(f(x)的解为 x2.答案 1 2规律方法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数对于 f(g(x)这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决【训练 1】 下列表格中的 x 与 y 能构成函数的是 _(填正确的序号)x 非负数 非正数y 1 1x 奇数 0 偶数

5、y 1 0 1x 有理数 无理数y 1 1x 自然数 整数 有理数y 1 0 1解析 中数 0 都有 2 个数值和它对应，中任一个自然数都有 3 个数值与之对应正确答案 题型二 待定系数法求函数解析式【例 2】 (1)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)4x1，求 f(x)；(2)已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1) f (x)2x ，求 f(x)解 (1)f( x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)，则 f(f(x)f( axb)a(axb)ba 2xab b.又f(f(x)4x 1， a2xabb4x1，即Error!解得Error!或Error!f(x) 2

6、x 或 f(x)2x1.13(2)f(x)是二次函数，设 f(x)ax 2bx c(a0)，由 f(0)1，得 c1，由 f(x1)f(x)2x ，得 a(x1) 2b(x1)1ax 2bx12x.左边展开整理得 2axa b2x ，由恒等式原理知Error!解得Error!f(x) x2x 1.规律方法 (1)对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式(2)若所求函数为一次函数，通常设 f(x)kx b(k0) ；若为反比例函数，通常设为 f(x) (k 0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：一般式kxyax 2bxc(a0) ； 两根式 ya(xx 1)(xx 2)(a0)，其中 x1

7、，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标；顶点式 ya(x )2 (a0)，其中顶b2a 4ac b24a点坐标为( ， )解题时需依据条件灵活选用b2a 4ac b24a【训练 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(0)1，f(1) 2，f(2)5，求该二次函数的解析式解 设二次函数的解析式为 f(x)ax 2bxc(a0)，由题意得Error!解得Error!故 f(x)x 21.题型三 换元法(或配凑法)求函数解析式【例 3】 求下列函数的解析式：(1)已知 f ，求 f(x)；(1 xx ) 1 x2x2 1x(2)已知 f( 1)x2 ，求 f(x)x x解 (1)方法一 (换

8、元法) 令 t 1，1 xx 1x则 t1.把 x 代入 f ，得1t 1 (1 xx ) 1 x2x2 1xf(t) 1 ( 1t 1)2( 1t 1)211t 1(t1) 21 (t1)t 2t 1.所求函数的解析式为f(x)x 2x1，x (， 1)(1，)方法二 (配凑法) f (1 xx ) 1 x2 2x 2xx2 1x 2 2 1，(1 xx ) 1 x xx (1 xx ) 1 xxf(x)x 2x1.又 11，1 xx 1x所求函数的解析式为 f(x)x 2x1(x1)(2)方法一 (换元法)令 1t(t1)，x则 x(t1) 2，f(t)( t1) 22 t 21.t 12

9、f(x)x 21(x1)方法二 (配凑法) x2 ( 1) 21，x xf( 1)( 1) 21.x x又 11，xf(x)x 21(x1)规律方法 (1)换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法所谓换元法，即将“ 1”换成另一个字母“ t”，然后从中解出 x 与 t 的x关系，再代入原式中求出关于“t” 的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况(2)配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x2 ”变x成含有“ 1”的表达式这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求x【训练 3】 已知函数 f(x1) x 22x，则 f(x)

10、_.解析 方法一 (换元法) 令 x1t，则 xt1，可得 f(t)(t1) 22(t 1)t 24t3，即 f(x)x 24x3.方法二 (配凑法) 因为 x22x(x 22x1) (4x4)3(x 1) 24(x1)3，所以 f(x1)(x1) 24(x1) 3，即 f(x)x 24x3.答案 x 24x3 互动探究题型四 分段函数【例 4】 (1)若 f(x)Error!则 f(f(2)_.(2)已知函数 f(x)Error!若 f(x)2，则 x_.解析 (1)因为 21 时，x 2，x2(舍13去)，故 x .13答案 (1)4 (2)13【迁移 1】 已知函数 f(x)Error!

11、(1)求 f(5)，f( )，f f( )的值；352(2)若 f(a)3，求实数 a 的值解 (1)由5 (，2 ， (2,2) ，3 (，2，知 f( 5)514，52f( )( )22( )32 .3 3 3 3f 1 ，( 52) 52 32而2 2，32ff( )f 2252 ( 32) ( 32) ( 32) 3 .94 34(2)当 a2 时，a13，即 a22，不合题意，舍去；当2a2 时，a 22a3，即 a22a30，(a1)(a3)0，得 a1，或 a3，1(2,2) ，3(2,2)， a1 符合题意；当 a2 时，2a13，即 a2 符合题意综上可得，当 f(a)3 时

12、， a1，或 a2.【迁移 2】 已知 f(x)Error!(1)画出 f(x)的图象；(2)若 f(x) ，求 x 的取值范围；14(3)求 f(x)的值域解 (1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示(2)由于 f( ) ，结合此函数图象可知，使 f(x) 的 x 的取值范围是(，12 14 14 ，)12 12(3)由图象知，当1x 1 时，f(x)x 2 的值域为0,1，当 x1 或 x1 时，f(x)1.所以 f(x)的值域为0,1【迁移 3】 如图所示，已知底角 45的等腰梯形ABCD，底边 BC 长为 7 cm，腰长为 2 cm，当垂直于2底边 BC(垂足为 F)的直线 l

13、 从左至右移动( 与梯形 ABCD有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BFx ，试写出左边部分的面积 y关于 x 的函数解析式，并画出大致图象解 过点 A，D 分别作 AGBC，DHBC，垂足分别是 G，H .因为四边形 ABCD是等腰梯形，底角为 45， AB2 cm，2所以 BGAGDHHC2 cm，又 BC7 cm，所以 AD GH3 cm.(1)当点 F 在 BG 上，即 x0,2时，y x2；12(2)当点 F 在 GH 上，即 x(2,5时，y 22x2；x x 22(3)当点 F 在 HC 上，即 x(5,7时，yS 五边形 ABFEDS 梯形 ABCDS RtCEF

14、(7 3)2 (7x )212 12 (x7) 210.12综合(1)(2)(3) ，得函数的解析式为yError!图象如图所示规律方法 当目标函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画课堂达标1已知函数 f(x)由下表给出，则 f(f(3)_.x 1 2 3 4f(x) 3 2 4 1解析 由题设给出的表知 f(3)4，则 f(f(3)f(4) 1.答案 12已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x 17，则 f(x)的解析式为_解析 设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a

15、3b2ax 2a2bax b5a2x17，所以 a2，b7，所以 f(x)2x7.答案 f( x)2x73已知函数 f(x)的定义域 A x|0x2，值域 By|1y 2 ，下列选项中，能表示 f(x)的图象的只可能是 _解析 根据函数的定义，观察图象，对于，值域为y|0y2，不符合题意，而中当 0x 2 时，一个自变量 x 对应两个不同的 y，不是函数故填.答案 4如果 f( ) ，则当 x0,1 时，f(x)_.1x x1 x解析 方法一 令 t，则 x ，1x 1t代入 f( ) ，1x x1 x则有 f(t) ，即 f(x) .1t1 1t 1t 1 1x 1方法二 x0,1，f( )

16、 ，1x x1 x 11x 1故 f(x) .1x 1答案 1x 15已知 f(x)为二次函数，若 f(0)0，且 f(x1)f (x)x1，求 f(x)的表达式解 设 f(x)ax 2bxc (a0) ， f(0)c0，f(x1) a( x1) 2b( x1)ax 2(2ab)xab，f(x)x1ax 2bx x 1ax 2(b1)x1.又 f(x1)f(x)x 1，Error!Error!f(x) x2 x.12 12课堂小结1函数三种表示法的优缺点2描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线3求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4) 消元法等.