苏教版高中数学必修1学案:2.2.1(第2课时)函数的单调性与最值
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1、第 2 课时 函数的单调性与最值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点);2.会借助单调性求最值(重点) ;3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)预习教材 P3940,完成下面问题:知识点一 函数的最大(小)值设 yf(x) 的定义域为 A,如果存在 x0A,使得对于任意 xA,都有 f(x)f (x0)(f(x) f(x0)恒成立,那么称 f(x0)为 yf(x )的最大(小)值,记为 ymaxf( x0)(yminf (x0)【预习评价】思考 1 任何函数都有最大(小)值吗?提示 不一定函数的最值首先是一个函数值,它是值域的一个元素若仅有对定义域内的任意实数 x,
2、都有 f(x)M,但 M 不在函数值域内,则 M 不能称为函数的最值例如函数 y (00 ,x 1 10,f(x2) f(x1)0)在区间p,q上的最值问题可作如下讨论:对称轴 x h 在区间p, q的左侧,即当 hq 时,f(x)maxf( p),f(x) minf(q)当 a2 时,函数 f(x)x 2ax 3a2在1,1上单调递增, f(x)minf(1) 4a;当1 1,即2a2 时,f(x) minf( ) 33 ;a2 a2 a24 a22 a24当 1,即 a0 恒成立,试求实数 a 的取值范围解 (1)当 a 时,f(x )x 2.12 12x设 1x 10,2x1x22,00
3、,12x1x212 12x1x2f(x2) f(x1)0,f(x 1)0 恒成立x22xa0 恒成立设 yx 22xa,x1,),则函数 yx 22xa(x1) 2a1 在区间1,)上是增函数,所以当x1 时,y 取最小值,即 ymin3a,于是当且仅当 ymin3a0 时,函数 f(x)0 恒成立,故 a 3.即实数 a 的取值范围是(3,) 【探究 4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)Error!其中 x 是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数 f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大
4、?最大利润为多少元?(总收益总成本利润)解 (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000100x ,从而 f(x)Error!(2)当 0x400 时,f(x) (x300) 225 000;12当 x300 时,f(x )max25 000,当 x400 时, f(x)60 000100x 是减函数,f(x)60 000100400 25 000.当 x300 时 ,f(x )max25 000.即每月生产 300 台仪器时利润最大,最大利润为 25 000 元规律方法 (1)在解决不等式恒成立问题时,最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理,在分离参数后常使用以下
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