苏教版高中数学必修1学案：3.1.1 分数指数幂

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1、31 指数函数31.1 分数指数幂学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义(重、难点)；2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点) ；3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质(重点)预习教材 P5961，完成下面问题：知识点一 n 次方根，n 次根式一般地，有：(1)n 次实数方根定义一般地，如果一个实数 x 满足 xna(n1，nN *)，那么称 x 为 a 的 n次实数方根正数的 n 次实数方根是一个正数n 是奇数 负数的 n 次实数方根是一个负数a 的 n 次实数方根用符号 表na示正数的 n 次实数方根有两个，它们互为相反数n 是偶数负数没有偶次实数方根正数 a 的正的 n 次

2、实数方根用符号 表示，正数 a 的负na的 n 次实数方根用符号表示，正的 n 次实数方根na与负的 n 次实数方根可以合并成 (a0)的形式na性质及表示0 的 n 次实数方根是 0，记作 0n0(2)根式式子 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数na【预习评价】思考 若 x2 3，这样的 x 有_个；它们叫做 3 的_，表示为_提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作 .3知识点二 根式的性质一般地，有：(1) 0( n N*，且 n1)；n0(2)( )na( nN *，且 n1)；na(3) a( n 为大于 1 的奇数)；nan(4) |a|Error

3、!( n 为大于 1 的偶数) nan【预习评价】思考 我们已经知道，若 x23，则 x ，那么( )3 32_， _， _.32 32提示 把 x 代入方程 x23，有( )23；3 3 ， 代表 9 的正的平方根即 3.32 9 9 3. 32 9知识点三 分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： (a0，m，nN *，且 n1)nam(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (a0，m ，nN *, 且n1)(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义【预习评价】用分数指数幂表示下列各式(式中 a0)，(1) _；(2) _.a313a5解析 (1) a3(2) 1

4、3a5答案 知识点四 有理数指数幂的运算性质(1)arasa rs (a0，r，sQ)；(2)(ar)sa rs(a0，r，s Q)；(3)(ab)ra rbr(a0，b0，rQ)【预习评价】思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？提示 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，运算性质也适用题型一 根式的意义【例 1】 求使等式 (3 a) 成立的实数 a 的取值范围a 3a2 9 a 3解 a 3a2 9 a 32a 3|a3| ，a 3要使|a3| (3a) ，a 3 a 3需E

5、rror!解得 a3,3规律方法 对于 ，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a0 才有意义；(2)na只要 有意义， 必不为负na na【训练 1】 若 a1，求 a 的取值范围a2 2a 1解 |a1| a1，a2 2a 1a1 0，a1.即 a 的取值范围为 1，) 题型二 根式的运算【例 2】 求下列各式的值(1) ；(2) ；(3) ；3 23 4 32 83 8(4) ，x( 3,3)x2 2x 1 x2 6x 9解 (1) 2.3 23(2) .4 32 432 3(3) |3| 3.83 8(4)原式 |x1| x3|，x 12 x 32当3x1 时，原式 1x (x3)

6、2x2.当 1x3 时，原式 x 1(x3)4.因此，原式Error!规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论【训练 2】 化简下列各式(1) ；(2) ；(3) .5 25 4 104 4a b4解 (1) 2.5 25(2) |10|10.4 104(3) |ab|Error!4a b4题型三 根式与分数指数幂的互化【例 3】 将下列根式化成分数指数幂形式(1) ； (2) ；3a4a aaa(3) ； (4)( )2 .3a

7、2 a3 3a ab3解 (1) 3a4a(2)原式(3)原式(4)原式规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子： ，其中字母 a 要使式子有意义【训练 3】 用分数指数幂表示下列各式：(1) (a0)；3a6 a(2) (a，b0)；3ab2 ab3(3) (b0)；(4) (x0)13x5x22解 (1)原式 (a0)题型四 分数指数幂的运算【例 4】 (1)计算： (2)化简： 解 (1)原式 1(2) 4 (2 4)0.75 0.4 1 1 1160.1 .18 14380(2)原式 a 01.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里

8、的，无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质【训练 4】 计算或化简：(1) 10( 2) 1 ( )0；5 2 3(2) 解 (1)原式 10( 2)15 10 10 201 .49 5 5 1679互动探究题型五 给值求值问题【探究 1】 已知 a0，b0，且 abb a，b9a，求 a 的值解 方法一 a0，b0，又 abb a，方法二 因为 abb a，b9a，所以 a9a(9 a)a，即(a 9)a (9a)a，所以 a99a，a 89，a .43【探

9、究 2】 已知 3，求下列各式的值(1)aa 1 ；(2)a 2a 2 ；(3) 解 (1)将 a a 3 两边平方，得 aa 1 29，12 12即 aa 1 7.(2)对(1)中的式子平方，得 a2a 2 249，即 a2a 2 47.(3) aa 1 18.【探究 3】 已知 a，b 是方程 x26x 40 的两根，且 ab0，求 的a ba b值解 a ，b 是方程 x26x40 的两根，Error!ab 0， .a b2 ，(a ba b) a b 2 aba b 2 ab 6 2 46 2 4 210 15 .a ba b 15 55规律方法 给值求值问题，即带有附加条件的求值问题

10、，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子课堂达标1. 的值是_a b2 5a b5解析 当 ab0 时，原式abab2(ab)；当 ab0 时，原式baab0.答案 0 或 2(ab)2化简 (2x1)的结果是 _1 2x2解析 2x1，12x0. |12x|2x 1.1 2x2答案 2x13化简 的结果是_ x3x答案 x4已知 10m2,10 n3， 则 103mn _.解析 10 3mn .103m10n 10m310n 233 83答案 835将下列根式化成分数指数幂的形式(1) (a0)；(2) (x0)；13x5x22(3) (b0)解 (1)原式(2)原式(3)原式课堂小结1掌握两个公式：(1)( )na( nN *)；(2)n 为奇数且 nN *， a，n 为偶na nan数且 nN *， |a|Error!nan2根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.