苏教版高中数学必修1学案:3.1.2(第2课时)指数函数及其性质的应用
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1、第 2 课时 指数函数及其性质的应用学习目标 1.会用指数函数模型刻画和解决简单的实际问题(难点);2.会解 af(x)a g(x)型的指数方程(重点);3.掌握与指数函数复合的函数单调性解决方法(重、难点); 4.了解与指数函数有关的函数奇偶性的判断方法(重点)预习教材 P6869,完成下面问题:知识点一 指数型函数 yk ax(kR 且 k0,a0 且 a1)模型1指数增长模型设原有量为 N,每次的增长率为 p,经过 x 次增长,该量增长到 y,则yN(1p) x(xN)2指数减少模型设原有量为 N,每次的减少率为 p,经过 x 次减少,该量减少到 y,则yN(1p) x(xN)【预习评价
2、】由于生产电脑的成本不断降低,若每年电脑价格降低 ,设现在的电脑价格为138 100 元,则 3 年后的价格可降为_解析 1 年后价格为8 100(1 )8 100 5 400(元) ,13 232 年后价格为5 400(1 )5 400 3 600(元) ,13 233 年后价格为3 600(1 )3 600 2 400(元) 13 23答案 2 400 元知识点二 与指数函数复合的函数单调性1复合函数 yf (g(x)的单调性:当 yf(x )与 ug(x)有相同的单调性时,函数yf(g(x)单调递增,当 yf(x )与 ug(x)的单调性相反时,函数 yf (g(x)单调递减,简称为同增
3、异减2当 a1 时,函数 y af(x)与 yf(x)具有相同的单调性;当 0a1 时,函数ya f(x)与函数 yf(x) 的单调性相反【预习评价】思考 y 的定义域与 y 的定义域是什么关系?1xy 的单调性与 y 的单调性有什么关系?1x提示 两者定义域相同,都是x| x0 ;两者单调性相反,y 在(, 0)单调递增,在 (0,) 单调递增,y 在(,0)单调递减,在1x(0, ) 单调递减题型一 利用指数型函数的单调性比较大小【例 1】 比较下列各组中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73; (2)0.61.2, 0.61.5 ;(3)2.30.28 , 0.673.1 .解 (1
4、)(单调性法)由于 1.72.5 与 1.73 的底数都是 1.7,故构造函数 y1.7 x,则函数 y1.7 x 在 R 上是增加的又 2.5 1.5,所以 0.61.2 0.6701,所以 2.30.28 0.2,所以0.80.1 1,因此有 3x 1,又 00.5x (10,a1),求 x 的取值范围解 (1)2 1 ,(12)原不等式可以转化为 3x1 1 .(12) (12)y x 在 R 上是减函数,(12)3x11,x0.故原不等式的解集是x|x 0 (2)分情况讨论:当 00,a1) 在 R 上是减函数,x23x1x6,x24x50,根据相应二次函数的图象可得 x5;当 a1
5、时,函数 f(x)a x(a0,a1)在 R 上是增函数,x23x11 时,(1,5)规律方法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式(2)解不等式 af(x)ag(x)(a0,a1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即 af(x)ag(x)Error!【训练 2】 (1)不等式 4x2.所以不等式的解集是x|x 2答案 (1)x|x212题型三 指数函数模型及应用【例 3】 某县现有 100 万人,经过 x 年后为 y 万人如果年平均增长率是 1.2%,请回答下列问题:(1)写出 y 关于 x 的函数
6、解析式;(2)计算 10 年后该县的人口总数(精度为 0.1 万人) (参考数据:1.012 91.113,1.012 101.127)解 (1)当 x1 时,y1001001.2%100(1 1.2%);当 x2 时, y100(1 1.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%) 2;当 x3 时, y100(1 1.2%)2100(11.2%) 21.2%100(11.2%) 3;故 y 关于 x 的函数解析式为 y100(11.2%) x(xN*)(2)当 x10 时,y100(11.2%) 101001.012 10112.7.故 10 年后该县约有 112.7 万人规律方
7、法 建立函数模型时通常需要写出 x1,2,3,时对应 y 值以归纳规律,而模型建得对不对也可通过令 x1,2,来验证【训练 3】 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少要过滤几次才能使13产品达到市场要求?解 每次过滤后杂质含量降为原来的 ,过滤 n 次后杂质含量为 n,按市23 2100(23)场要求“杂质含量不能超过 0.1%”得 n ,2100(23) 11 000即 n ,(23) 120当 n7 时, 70.059 .(23) 120当 n8 时, 80.039 .(23) 120即至少要过滤 8 次才能
8、使产品达到市场要求题型四 与指数函数复合的函数单调性问题【例 4】 讨论函数 y x x1 2 的单调性(14) (12)解 令 t x,则 yt 22t2(t0)(12)又 t x 在 R 上是单调减函数,yt 22t2(t0)在(0,1上是单调减函数,在(12)1, ) 上是单调增函数,而当 t x1,x0;当 t x1 时,x 0,(12) (12)函数 y x x1 2 在(,0上是单调减函数,在0,)上是单调增(14) (12)函数规律方法 (1)关于指数型函数 ya f(x)(a0,且 a1)的单调性由两点决定,一是底数 a1 还是 0a1;二是 f(x)的单调性,它由两个函数 y
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- 苏教版 高中数学 必修 3.1 课时 指数函数 及其 性质 应用
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