苏教版高中数学必修1学案：3.4.2 函数模型及其应用

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1、34.2 函数模型及其应用学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点) 预习教材 P98103，完成下面问题：1常见几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)ax b(a，b 为常数，a0)二次函数模型 f(x)ax 2bxc( a， b，c 为常数，a0)指数函数模型 f(x)ba xc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)对数函数模型 f(x)alog bxc(a，b，c 为常数，a0，b0)幂函数模型 f(x)ax b(a，b， 为常数，a0)分段函数模型 f(x)Error!2解决实际问题的程序 实 际 问 题 建

2、立 数 学 模 型 得 到 数 学 结 果 解 决 实 际 问 题其中建立数学模型是关键【预习评价】某次火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km，火车出发 10 min 开出 13 km后，以 120 km/h 匀速行驶试写出火车行驶的路程 s(km)与匀速行驶的时间 t(h)之间的函数关系式，并求出火车离开北京 2 h 内行驶的路程解 火车匀速运动的时间为(277 13)120 (h)，1150t .115火车匀速行驶 t h 所行驶路程为 120 t，火车行驶的路程 s 与 t 的关系是s13120 t(0t )1152 h 内火车行驶路程s13120(2 )233(km).16题型一

3、 一次函数、二次函数模型【例 1】 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 m(件) 与售价 x(元 )满足一次函数：m1623x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为_元解析 设每天获得的利润为 y 元，则y(x 30)(1623x) 3(x42) 2432，当 x42 时，获得利润最大，应定价为 42 元答案 42规律方法 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符【训练 1】 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图

4、所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是_元解析 由题意可知，收入 y 是销售量 x 的一次函数，设 yaxb，将(1,800)，(2,1 300)代入，得 a500，b300.y500x300，x0.当销售量为 x0 时，y 300.答案 300题型二 分段函数模型【例 2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x) Error!其中 x 是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量 x 的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解 (1)设月产量

5、为 x 台，则总成本为 20 000100x ，从而 f(x)Error!(2)当 0x400 时，f(x) (x300) 225 000，12当 x300 时，有最大值 25 000；当 x400 时， f(x)60 000100x 是减函数，f(x) 60 00010040025 000.当 x300 时，f(x )的最大值为 25 000.即每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25 000 元规律方法 (1)分段函数模型是日常生活中常见的函数模型对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的

6、“不重不漏”(2)解决分段函数问题需注意几个问题：所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域；求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值；一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围【训练 2】 国家规定个人稿费纳税办法：不超过 800 元的不纳税；超过 800元不超过 4 000 元的，扣除 800 元后按 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿费的11.2%纳税某人出了一本书，共纳税 420 元，则这个人的稿费为_元解析 设个人稿费为 x 元，纳税金额为 y 元由题意得yError!将 y420 分别代入可知 x3 800

7、.答案 3 800题型三 指数函数模型【例 3】 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同假定保鲜时间与储藏时间的关系为指数型函数 yk ax(k0)若牛奶放在 0 的冰箱中，保鲜时间约是 192 h，而在 22 的厨房中保鲜时间则约是 42 h.(1)写出保鲜时间 y(单位：h)关于储藏温度 x(单位： )的函数解析式；(2)如果把牛奶分别储藏在 10 和 5 的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据： 0.93)2732解 (1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函数 yk ax(k0)，由题意可知Error!解得Error!所求函数解析式为 y1920.93 x.(

8、2)令 f(x)y1920.93 x， 0a0.931，f(x)是单调减函数，又 105，f(10)f(5)，把牛奶储藏在 5 的冰箱中，牛奶保鲜时间较长规律方法 指数型函数模型：yma xb(a0 且 a1，m 0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示【训练 3】 已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时人口的年增长率为 0.3%；1970年世界人口为 36 亿，当时人口的年增长率为 2.1%.已知马尔萨斯人口模型为yy 0ert，其中 y0 表示 t0 时的人口数，r 表示人口的年增长率(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是 1

9、650 年的 2 倍？什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍？(2)实际上，1850 年以前世界人口就超过了 10 亿；而 2003 年世界人口还没有达到 72 亿你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解 (1)若按 1650 年世界人口 5 亿，年增长率为 0.3%估计，有 y5e 0.003t，当y10 时，解得 t231.所以，1881 年世界人口约为 1650 年的 2 倍若按 1970 年世界人口 36 亿年增长率 2.1%估计，有 y36 e0.021t，当 y72 时，解得 t33，所以 2003 年世界人口数约为 1970 年的 2 倍(2)由此看出，此模型不太适宜估计时间

10、跨度非常大的人口增长情况题型四 对数函数模型【例 4】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v5log 2 ，单位是 m/s，其中 Q 表示燕Q10子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为 0，代入题目所给公式可得05log 2 .Q10解得 Q10，即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位(2)将耗氧量 Q80 代入公式得：v5log 2 5log 2815(m/s)，8010即当一只燕子的耗氧量为 80 个单位时，飞行速度

11、为 15 m/s.规律方法 对数型函数模型：ymlog axc(m0，a0 且 a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解【训练 4】 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音的强度 I 用瓦/米 2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平 L1 表示，满足以下公式：L 1 10lg (单位为分贝，L I 0，其中 I0110 12 II0W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是 11010 W/m2，耳语的强度是 11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是 1108 W/m2，试分别求出

12、它们的强度水平；(2)在某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 分贝以下(不包括 50 分贝)，试求声音强度 I 的范围是多少？解 (1)树叶沙沙声的强度是 I1110 12 W/m2， 1，LI 110lg 10( 分贝) ，I1I0即树叶沙沙声的强度水平为 0 分贝；耳语的强度是 I2110 10 W/m2，则 102，LI 210lg 10 220(分贝)，I2I0即耳语的强度水平为 20 分贝；恬静的无线电广播的强度是 I3110 8 W/m2，则 104，LI 310lg 10 440(分贝)，I3I0即恬静的无线电广播的强度水平为 40 分贝(2)由题

13、意知：0L 150，即 010lg 50，II01 10 5，即 1012 I10 7 .II0新建的安静小区的声音强度 I 大于或等于 1012 W/m2，同时应小于 107 W/m2.课堂达标1用一根长为 12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_ m 2.解析 设矩形的一边长为 x m，则与这条边垂直的边长为 m，12 2x2所以矩形面积 Sx x 26x(0x6)，12 2x2当 x3 m 时，S 最大 9 m 2.答案 92某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 ye kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)

14、，则 k_，经过5 小时，1 个病毒能繁殖为_个解析 当 t0.5 时，y2，2 ，k2ln 2，y e2tln 2，当 t5 时，ye 10ln 22 101 024.答案 2ln 2 1 0243已知气压 p(百帕) 与海拔高度 h(米) 满足关系式 p ，则海拔6 000 米高处的气压为_解析 p 1 000( )24.9.7100答案 4.9( 百帕)4某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分) 备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x，y 分别为_解析 由三角形相似得 ，24 y24 8 x20得 x (24

15、y )，54Sxy (y12) 2180，54当 y12 时，S 有最大值，此时 x15.答案 15,125根据市场调查，某种商品在最近的 40 天内的价格 f(t)与时间 t 满足关系 f(t)Error!(t N) ，销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t) t (0t40，tN)求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最13 434大值解 据题意，商品的价格随时间 t 变化，且在不同的区间 0t 20 与 20t40上，价格随时间 t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论设日销售额为 F(t)(1)当 0t20 ，t N 时，F(t)( t11)( t ) (t )2 ( 946)

16、，故当 t10 或 11 时，F (t)12 13 433 16 212 164414max 176.(2)当 20t 40 且 tN 时，F(t)(t41)( t ) (t42) 2 ，13 433 13 13故当 t20 时，F(t) max161.综合(1)，(2)知当 t10 或 11 时，日销售额最大，最大值为 176.课堂小结1函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化4根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示