苏教版高中数学必修1学案：3.4.1（第2课时）用二分法求方程的近似解

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1、第 2 课时 用二分法求方程的近似解学习目标 1.能用二分法求出方程的近似解(重点)；2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想(难点)预习教材 P9396，完成下面问题：知识点一 二分法的定义对于在区间a，b 上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法【预习评价】下列关于二分法的叙述，正确的是_(填序号)用二分法可求所有函数零点的近似值；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；二分法无规律可循，无法在计算机上完成；只有求函数

2、零点时才用二分法解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故错；求方程的近似解也可以用二分法，故错答案 知识点二 用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0；(2)求区间(a，b)的中点 c；(3)计算 f(c)：若 f(c)0，则 c 就是函数的零点，若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)，若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)；(4)判断是否达到题目要求：若达到，则得到零点近似值；否则重复(2)(4)【预习评价】

3、1用二分法求函数 f(x) x35 的零点可以取的初始区间是_(填序号)2,1; 1,0; 0,1; 1,2解析 f (2)30，f(1)60，f(2)f(1)0 ，故可取 2,1作为初始区间，用二分法逐次计算答案 2函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程 f(x)0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)0，f (1.5)0，f(1.25)0，则方程的解所在区间为_(写出一个正确区间即可)解析 由于 f(1.25)f(1.5) 0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)答案 (1.25,1.5)题型一 二分法概念的理解【例 1】 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分

4、法求函数零点的是_(填序号) 解析 按定义，f(x )在a， b上是连续的，且 f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得满足条件，而不满足，在中，图象经过零点 x0 时，函数值不变号，因此不能用二分法求解答案 规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用【训练 1】 下列函数中，能用二分法求零点的为_(填序号)解析 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号

5、，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有符合答案 题型二 用二分法求方程的近似解【例 2】 证明方程 63x2 x在(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到 0.1)解 设 f(x)63x2 x，f(1)63210，f(2)662 240，f(1)f(2)0.又 f(x)在定义域内是减函数，故方程在(1,2) 内有唯一的解用二分法逐次计算，列表如下：中点的值中点函数值的符号取区间1.51 22f(1.5)0 (1,1.5)1.251 1.52f(1.25) 0 (1,1.25)1.1251 1.252f(1.125) 0 (1.125,1.25)1.

6、187 51.125 1.252f(1.187 5) 0 (1.187 5,1.25)1.187 5 1.2521218 75f(1.218 75)0 (1.218 75,1.25)1.218 75 1.2521234 375f(1.234 375)0(1.218 75，1234 375)1.218 75 与 1.234 375 精确到 0.1 的近似值都是 1.2，63x2 x在(1,2)内的一个近似解是 1.2.规律方法 用二分法求方程的近似解，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次及时检验区间端点的值按近似要求是否相等，以决定停止运算还是继续运算【训练

7、2】 借助计算器或计算机，用二分法求方程 x3lg x 在区间(2,3) 内的近似解(精确到 0.1)解 原方程即 xlg x30，令 f(x)xlg x3，用计算器可算得 f(2)0.70，f(3)0.48，于是 f(2)f(3)0，所以，这个方程在区间 (2,3)内有一个解下面用二分法求方程 x 3lg x 在区间(2,3)内的近似解取区间(2,3)的中点 x12.5，用计算器可算得 f(2.5) 0.10.因为 f(2.5)f(3)0，所以 x0(2.5,3)再取区间(2.5,3) 的中点 x2 2.75，用计算器可算得 f(2.75) 0.19.因为 f(2.5)f(2.75)0，所以

8、 x0(2.5,2.75)由于 2.625 与 2.562 精确到 0.1 的值都为 2.6，所以原方程的近似解可取为 2.6.互动探究题型三 二分法的应用【探究 1】 如图，下列函数图象与 x 轴有交点，其中不能用二分法来求交点横坐标的是_(填序号)解析 应明确二分法其实是零点存在性定理的应用因此应用二分法的前提是符合零点存在性定理的条件图两个函数的零点左、右两边函数值同号，不能用二分法求其近似解；图的图象在 x0 处是间断的，不能用二分法求其零点，故选.答案 【探究 2】 求函数 f(x) x33x 29x1 的一个负零点(精确到 0.01)解 本题考查利用二分法求函数的零点因为要求的是函

9、数的负零点，因此应首先确定一个包含负数的恰当的区间作为计算的初始区间，再使用计算器，用二分法求出零点近似值列表如下：端点(中点)坐标端点(中点)的函数值取值区间f(1)0，f(2)0(2，1)x0 1.5 1 22f(x0)4.375 0 (2，1.5)x1 1.75 1.5 22f(x1)2.203 0 (2，1.75)x2 1.875 1.75 22f(x2)0.736 0 (2，1.875)x3 1.937 5 1.875 22f(x3)0.097 0 (1.937 5，1.875)x4 1.906 25 1.875 1.937 52f(x4)0.328 0 (1.937 5，1.906

10、 25)x5 1.937 5 1.906 2521.921 875f(x5)0.117 0 (1.937 5，1.921 875)x6 1.937 5 1.921 87521.929 678 5f(x6)0.011 0(1.937 5， 1.929 678 5)x7 1.937 5 1.929 687 521.933 593 75f(x7)0.04 0(1.933 593 75， 1.929 687 5)由上表可知，因为1.933 593 75 与1.929 687 5 精确到 0.01 都是1.93，所以x1.93 就是函数的一个负零点近似值【探究 3】 中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运 5

11、2”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标某次猜一种品牌的手机，手机价格在 5001 000 元之间选手开始报价：1 000 元，主持人回答：高了；紧接着报价 900 元，高了；700 元，低了；800 元，低了；880 元，高了；850 元，低了；851 元，恭喜你，你猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解 本题主要考查二分法在生活中的应用从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价开始，从两边向真实价靠拢，而手机的范围

12、是确定的，且报数是整数，所以可用数学中的“逼近思想”的特例二分法来设计猜价方案取价格区间500,1 000 的中点 750，如果主持人说低了，就再取750,1 000的中点 875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，则取整数照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过 6 次可以猜中价格规律方法 (1)二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(2)二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区

13、间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号(3)求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同(4)二分法的实施步骤可以概括为一段口诀：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断.课堂达标1用二分法求方程 x32 x50 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_解析 f(2) 23225 10，f(2.5) 2.5 3 22.555.6250，下一个有根的区间是(2,2.5)答案 (2,2.5)2设函数 f(x)Error!则方程 f(x)4 的实根为_ 解析 由Error!或Error!得 x2

14、或 x1.答案 x 2 或 x13已知函数 f(x)2 xx 8 的零点为 x0，且 x0(k，k 1)，则整数k_.解析 函数 f(x)2 xx 8 的零点 x0，即为函数 y2 x与 yx8 图象的交点的横坐标，如图f(2)2 2280，f(3)2 3380，故 x0(2,3)，即 k2.答案 24已知函数 f(x)log 2xx2 的零点在区间(n，n1)(nZ)内，则n_.解析 f(1) 10，f (2)10，易知 f(x)在(0，)上单调递增，所以 n1.答案 15求函数 f(x)ln x 的零点所在的大致区间(区间长度小于 1 即可) 2x解 从图象和端点函数值两个方面判断首先结合

15、 y ln x 与 y 的图象知交点只有一个且在区间(1，e)上，2x然后判断 f(1)20， f(2)ln 210，f(e)ln e 1 0，注意到 f(2)f(e)0，f(x)在(2，e) 内有零点，且 e21.2e 2e函数 f(x)ln x 的零点所在的大致区间是(2 ，e)2x课堂小结1二分法求函数的零点，只适用于变号零点当 f(a)f(b)0 时，在a，b上也可能存在零点2用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值 xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止.