苏教版高中数学必修1学案：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 章末复习课

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1、章末复习课网络构建核心归纳一、指数函数1根式条件 n1.(1)n 为奇数时， a；nann 为偶数时， |a|Error!nan(2)正分数指数幂： (a0，m，nN *，且 n1)nam负分数指数幂： (a0，m，nN *，n 1)1nam(3)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义(4)有理数指数幂的运算性质：a sata st ；(a s)ta st；(ab) ta tbt.其中 s，t Q，a0，b0.2指数函数图象与性质图象特征 函数性质a1 0a1a1 0a1向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数函数的图象都在 x 轴

2、上方 函数的值域为(0，)函数图象都过定点(0,1) a01自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数在第一象限内的图象上的点的纵坐标都大于 1在第一象限内的图象上的点的纵坐标都小于 1x 0，a x1 x0， 0a x1在第二象限内的图 在第二象限内的图 x0， 0a x1 x 0，a x1象上的点的纵坐标都小于 1象上的点的纵坐标都大于 1图象上升趋势是越来越陡图象下降趋势是越来越缓函数值开始增长速度较慢，到了某一值后增长速度极快函数值开始减小速度极快，到了某一值后减小速度较慢二、对数函数1对数的概念当 a0 且 a1.(1)对数的性质：1 的对数等于零；底数的对数等于

3、 1；零和负数没有对数(2)指数式与对数式的互化：abNblog aN2两种重要对数常用对数 以 10 为底的对数 lg N自然对数 以无理数 e2.718 28为底的对数 ln N3.对数的运算性质如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN) logaMlog aN；(2)loga log aMlog aN；MN(3)logaMnnlog aM(nR)4换底公式logab (a0，且 a 1；c 0 且 c1；b0)logcblogca5对数函数的图象和性质图象特征 函数性质a1 0a1a1 0a1函数的图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为(0，)图象关于原点和 y 轴不对

4、称 非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数的图象都过定点(1,0) loga10自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数第一象限内的图象上的点的纵坐标都大于0x 1，log ax0 0x1，log ax0第四象限内的图象上的点的纵坐标都小于00x1 log ax0 x1，log ax0三、幂函数的图象与性质函数 yx yx 2 yx 3 yy1xyx 2定义域 R R R x|x0 x|x0 x|x0值域 R y|y0 R y|y0 y|y0 y|y0奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数 偶函数单调性在 R 上递增在(，0) 上递减，在(

5、0，) 上递增在 R 上递增在(0，) 上递增在(，0) 和(0，) 上递减在(，0) 上递增，在(0，) 上递减图象公共点 (0,0)，(1,1) (1,1)四、函数与方程1函数的零点一般地，把使函数 yf (x)的值为 0 的实数 x 称为函数 yf (x)的零点(1)函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是图象与 x 轴交点的横坐标(2)求函数零点的方法：代数法，解 f(x)0 求得；几何法：画图象求得；二分法：把零点所在区间逐步二分求得近似解2函数零点的存在性定理若函数 yf(x )在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)

6、在区间a，b上有零点f(a)f(b) 0 是关注条件，满足 f(a)f(b)0 时，函数 yf (x)在(a，b) 内至少有一个零点，但 f(a)f(b)0 时，函数 yf(x)在( a，b)内也可能存在零点并不是所有的函数都有零点3二分法用二分法求方程 f(x)0 零点近似值的步骤：第一步：确定区间a，b ，验证 f(a)f(b)0；第二步：求区间(a，b) 的中点 x1；第三步：计算 f(x1)，若 f(x1)0，则 x1 就是函数的零点；若 f(a)f(x1)0，则令 bx 1(此时零点 x0(a，x 1)；若 f(x1)f(b)0，则令 ax 1(此时零点 x0(x 1，b)；第四步：

7、判断是否达到精确要求：即区间端点 a，b 的值按精确要求是否相等，若相等此值则为函数零点的近似值，否则重复第二、三、四步五、函数模型及其应用1常见的几类函数模型(1)一次函数模型：f(x )kx b(k ，b 为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x ) b(k，b 为常数，k 0)；kx(3)二次函数模型：f(x )ax 2bxc (a，b，c 为常数，a0)；(4)指数函数模型：f(x )ab xc (a，b，c 为常数，a 0，b0，b1)；(5)对数函数模型：f(x )mlog axn(m，n，a 为常数 a0，a1，m 0)；(6)幂函数模型：f(x )ax nb(a，b，n 为

8、常数，a0，n1)2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.要点一 有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化

9、，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用【例 1】 (1)化简： ；(1 23ba) 3ab(2)计算：2log 32log 3 log 3825log 53.329解 (1)原式(2)原式log 34log 3 log 3852log 53329log 3(4 8)52log 53log 399297.932【训练 1】 log 3 log 3 _.54 45解析 log 3 log 3 ( )3 log 31 0 .54 45 23 278 278答案 278要点二 比较大小

10、比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，1 等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决【例 2】 设 a 3，b 0.2，c ，则 a，b，c 的大小关系为(13)_解析 a 30,0b 0.21，c 1，故有 abc .(13)答案 abc【训练 2】 (1)判断大小：log 32，log 23，log

11、 25 的大小关系为_(2)已知 0a 1，x log a log a ，y loga5，zlog a log a ，则2 312 21 3x，y，z 的大小关系为_ 解析 (1)由于 log31log 32log 33，log 22log 23log 25，即0log 321,1log 23log 25，所以 log32log 23 log25.(2)依题意，得 xlog a ，y log a ，z log a .又 0a1， ，因6 5 7 5 6 7此有 loga log a log a ，即 yxz.5 6 7答案 (1)log 32log23log25 (2)yx z要点三 函数的零

12、点与方程根的关系及应用根据函数零点的定义，函数 yf(x )的零点就是方程 f(x)0 的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)0 是否有根，有几个根从图形上说，函数的零点就是函数 yf(x )的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题在考试中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视【例 3】 设 g(x)e 2x|e xa|，x0，ln 3，其中 a2 ，2(1)当 a1 时，函数 g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明

13、理由；(2)求函数 g(x)的最小值解 (1)当 a 1 时，设 t ex(显然 t1,3)，则 h(t)t 2t1，令 h(t)t 2t10，解得 t 或 t 都不满足 t1,3， 1 52 1 52x0，ln 3时，函数 g(x)不存在零点(2)设 te x，则 h(t)t 2|ta|(显然 t1,3当 a1 时，h(t) t 2ta 在区间1,3 上是增函数，所以 h(x)的最小值为 h(1)2a.当 1a2 时，h(t)Error!2因为函数 h(t)在区间a,3上是增函数，在区间1，a上也是增函数，又函数 h(t)在 1,3上为连续函数，所以函数 h(t)在1,3 上为增函数，所以

14、h(t)的最小值为 h(1)a.综上可得：当 a1 时，g(x) 的最小值为 2a；当 1a2 时，g(x )的最小值2为 a.【训练 3】 设函数 yx 3 与 y x2 的图象的交点为(x 0，y 0)，则 x0 所在的区(12)间是_(填序号) (0,1)；(1,2)；(2,3)；(3,4)解析 设 g(x)x 32 2x ，则 g(0)4 ，g(1) 1， g(2)7，g(3)26 ，g(4)64 ，显然 g(1)g(2)12 340，于是函数 g(x)的零点，即 yx 3 与 y x2 的图象的交点在(1,2)上(12)答案 互动探究要点四 幂、指数、对数函数的综合应用【探究 1】

15、已知函数 f(x)lg 在 x(，1上有意义，求实数 a1 2x a4x3的取值范围解 因为 f(x)lg 在 x(，1 上有意义，所以 12 xa4 x0 在1 2x a4x3(， 1上恒成立因为 4x0，所以 a 在(，1上恒成立(14)x (12)x令 g(x) ， x(，1(14)x (12)x由 y x与 y x在( ，1上均为增函数，可知 g(x)在(，1上也(14) (12)是增函数，所以 g(x)maxg(1) .(14 12) 34因为 a 在(，1上恒成立，(14)x (12)x所以 a 应大于 g(x)的最大值，即 a .34故所求 a 的取值范围为 .( 34， )【探

16、究 2】 函数 f(x)log a(1x)log a(x3)(0 a1)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)若函数 f(x)的最小值为2，求 a 的值解 (1)要使函数有意义，则有Error!解得3x 1，定义域为(3,1)(2)函数可化为 f(x)log a(1x)( x3)log a(x 22x 3) log a(x1) 24 3 x1，0(x1) 244.0a 1，log a(x1) 24log a4.由 loga42，得 a2 4，a4 .12 12【探究 3】 设函数 f(x) kaxa x (a0 且 a1)是定义域为 R 的奇函数(1)若 f(1)0，求不等式 f(72x)f(

17、x4) 0 的解集；(2)若 f(1) ，且 g(x)a 2xa 2x 4f( x)，求 g(x)在1，)上的最小值32解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0) 0，所以 k10，所以 k1.故 f(x)a xa x .(1)因为 f(1)0，所以 a 0，又 a0 且 a1，所以 a1，而当 a1 时，1aya x和 ya x 在 R 上均为单调增函数，所以 f(x)在 R 上为单调增函数，原不等式化为：f(72x )f(4x)，所以 72x4x，所以 x1，所以不等式的解集为 x|x1 (2)因为 f(1) ，所以 a ，32 1a 32即 2a23a20，所以 a2 或

18、 a (舍去)，12g(x)2 2x2 2x 4(2 x2 x)(2 x2 x )24(2 x2 x )2.令 t2 x2 x(x1) ，则 th( x)在1，) 上为单调增函数，即 h(x)h(1) .32所以 g(t)t 24t2( t2) 22，t ，)，32所以当 t2 时，g(x )min2，此时 xlog 2(1 )，2故当 xlog 2(1 )时，g( x)有最小值2.2【探究 4】 设函数 f(x) Error!(1)求 f(log2 )与 f( )的值；32 18(2)求满足 f(x)2 的 x 的值；(3)求 f(x)的最小值解 (1)log 2 log 221，32f(l

19、og2 ) .32 23 31，f( ) f(3)log 3 log3 log 31log331 0 (1) 0.18 33 39故 f(log2 )与 f( )的值分别为 ，0.32 18 23(2)当 x1 时，f(x)2 x 2，解得 x1，符合题意；当 x1 时， f(x)log 3 log3 2，x3 x9即(log 3x1)(log 3x2)2.log x3log 3x0，23log3x3 或 log3x0.由 log3x0 得 x1，不合题意(舍去)由 log3x3，得 x3 3271 符合题意综上可知，所求 x 的值为 1 或 27.(3)当 x1 时，f(x)2 x ( )x( )1，12 12即 f(x)min .12当 x1 时， f(x)(log 3x1)(log 3x2)令 log3xt，则 t0，y (t1)(t 2)(t )2 ，32 14当 t 0 时，y min .32 14 12f(x)的最小值为 .14