2019人教A版数学选修2-1学案（含解析）：1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词

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1、14 全称量词与存在量词141 全称量词142 存在量词1理解全称量词、全称命题的定义 2理解存在量词、特称命题的定义3会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假全称量词和存在量词全称量词 存在量词量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给存在一个、至少有一个、有些、某一个、有的符号 命题 含有全称量词的命题是全称命题 含有存在量词的命题是特称命题命题形式“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立” ，可用符号简记为“x M ，p(x)”“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立” ，可用符号简记为“x 0M，p(x 0)”(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的

2、命题，常见的全称量词还有“一切” “每一个”等(2)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)“有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词( )(2)全称量词的含义是“任意性” ，存在量词的含义是“存在性 ”( )(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词( )答案：(1) (2) (3) 下列命题中，不是全称命题的是( )A任何一个实数乘以 0 都等于 0B自然数都是正整数C每一个向量都有大小D一定存在没有最大值的二次函数答案：D下列特称命题是假命题的是( )A存在 x0Q，使 2x

3、0x 030B存在 x0R，使 x x 0 1020C有的素数是偶数D有的有理数没有倒数答案：B命题“有些长方形是正方形 ”含有的量词是_ ，该量词是_量词( 填“全称”或“存在”)答案：有些 存在探究点 1 全称命题与特称命题的辨析判断下列语句是否为全称命题或特称命题(1)有一个实数 a 不能取对数；(2)所有不等式的解集 A，都满足 AR；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定；(5)自然数的平方是正数【解】 因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4) 为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数” ，所以(2)(5)均含有全称量词，

4、故为全称命题；(3) 不是命题综上所述：(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路注意 全称命题可以省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略 1给出下列命题：存在实数 x01，使 x 1；20全等的三角形必相似；有些相似三角形全等；至少有一个实数 a，使 ax2ax10 的根为负数其中特称命题的个数为( )A1 B2C3 D 4解析：选 C为特称命题， 为全称命题故选 C2用量词符号“” “”表述下列命题(1)所有实数 x 都能使 x2x 10 成立；(2)对所有实数 a，b，方程 axb0 恰有一个解；(3)一定有整数 x，y，

5、使得 3x2y 10 成立；(4)所有的有理数 x 都能使 x2 x1 是有理数13 12解：(1)xR，x 2x 10 ；(2)a，bR，axb0 恰有一解；(3)x0，y 0Z， 3x02y 010；(4)xQ， x2 x1 是有理数13 12探究点 2 全称命题与特称命题的真假判断判断下列命题的真假(1)x0Z，x 1；30(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对( x，y) 都对应一点 P；(4)xN，x 20【解】 (1)因为1Z ，且(1) 311，所以“ x0Z， x 1”是真命题30(2)真命题，如梯形(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点

6、的对应关系知，它是真命题(4)因为 0N， 020，所以命题 “xN，x 20”是假命题判断全称命题和特称命题真假的方法(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素 x，使命题 p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素 x，使命题 p(x)为假(2)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素 x，使命题 p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素 x，使命题 p(x)为假 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(2)对任意实数 x1、x 2，若 x1m

7、恒成立，求实数 m 的取值范围【解】 令 ysin xcos x ， xR ，则 ysin xcos x sin ， ，2 (x 4) 2 2因为xR，sin xcos x m 恒成立，所以只要 mm 有解” ，求实数 m的取值范围解：令 ysin xcos x ，xR ，因为 ysin xcos x sin ， 2 (x 4) 2 2又因为 x0R，sin x 0cos x 0m 有解，所以只要 m0若 p 为真命题，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B(，1)C1，) D (，1解析：选 B依题意不等式 x22xa0 对 xR 恒成立，所以必有 44a0 BxR，x 21x；已知

8、an2n，b m3m，对于任意 n，m N *，a nb m其中，所有真命题的序号为_解析：因为 x22x 30 的根为 x1 或 3，所以存在 x01 ，所以xN *，1213 (12) 成立，p 为真命题；因为 2x0，2 1x 0，所以 2x2 1x 2 2 ，当且仅当x (13)x 2x21 x 22x2 1 x，即 x 时等号成立因为 x N*，所以 q 为假命题，所以 p( q)为真命12 12题12命题“x 1，2，x 2a0”是真命题的一个充分不必要条件是( )Aa4 Ba4Ca5 D a5解析：选 C当该命题是真命题时，只需 a(x 2)max，x 1，2又 yx 2 在1

9、，2上的最大值是 4，所以 a4因为 a4 a5，a5a4，故选 C/ 13已知函数 f(t)log 2t，t ，8 ，若命题“对于函数 f(t)值域内的所有实数 m，不2等式 x2mx42 m4x 恒成立 ”为真命题，求实数 x 的取值范围解：易知 f(t) 12，3由题意，令 g(m)( x2)mx 24x4(x2)m(x2) 2，则 g(m)0 对任意的 m恒成立12，3所以 ，g(12)0g（3）0)即 ，12（x 2） （x 2）203（x 2） （x 2）20)解得 x2故实数 x 的取值范围是( ，1) (2，)14(选做题) 函数 f(x)对一切实数 x、y 均有 f(xy)f

10、(y)( x2y1)x 成立，且 f(1)0(1)求 f(0)的值；(2)在(0， 4)上存在实数 x0，使得 f(x0)6ax 0 成立，求实数 a 的取值范围解：(1)由已知等式 f(xy )f(y)( x2y1)x，令 x1， y0，得 f(1)f(0)2又因为 f(1)0，所以 f(0)2(2)令 y0，则 f(xy )f( y)f (x)f (0)f (x)2(x201)xx 2x，所以 f(x)6x 2x4所以要在(0，4)上存在 x0 使 f(x0)6ax 0 成立，只需在(0，4)上存在 x0 使a x 0 1而 x0 1415，等号当且仅当 x2 时成立f（x0） 6x0 4x0 4x0故所求 a 的取值范围为 a5