2019人教A版数学选修2-1学案（含解析）：1.4.3 含有一个量词的命题的否定

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1、143 含有一个量词的命题的否定1通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律2能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定含有一个量词的命题的否定p p 结论全称命题 xM，p( x) x0 M，p(x 0)全称命题的否定是特称命题特称命题x 0M，p(x 0) xM，p(x )特称命题的否定是全称命题(1)要否定全称命题“ xM，p(x)” ，只需在 M 中找到一个 x0，使得 p(x0)不成立，也就是命题“ x0M，p(x 0)”成立(2)要否定特称命题“x 0M，p(x 0)”，需要验证对 M 中的每

2、一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“x M ，p(x) ”成立在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)命题p 的否定是 p( )(2)x0M ，p(x 0)与x M，p(x) 的真假性相反( )(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p( x)”同时否定( )答案：(1) (2) (3) 命题“x R，|x| x 20 ”的否定是( )AxR，|x |x 20，真命题(4)s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题写全称命题与特称命题的否定的思路在书写全称命题与特称命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量

3、词，从量词入手，书写命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 1命题“存在 x0R ，使 2x00”的否定是 ( )A不存在 x0R，使 2x00B存在 x0R，使 2x00C对任意的 xR，都有 2x0D对任意的 xR，都有 2x0解析：选 D “存在”改为“ 任意” ， “”改为“”，选 D2写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：每一个素数都是奇数；(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行；(3)p：有些实数的绝对值是正数解：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个” ，因此， p：存在一个素数不是奇数，是真命题(2)是全称命题，省略了全称量词“任意”

4、，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行” ，p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有” ，因此，p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题探究点 2 含量词的命题的应用已知命题“对于任意 xR ，x 2ax10”是假命题，求实数 a 的取值范围【解】 因为全称命题“对于任意 xR ，x 2ax10”的否定形式为：“存在x0R，x ax 010，解得 a2所以实数 a 的取值范围是( ，2) (2，) 1变条件 若本例中的“假命题”改为“真命题” ，求实数 a 的取值范围解：由题意知 0，则 a240，得2a2所以实数 a 的取值范围

5、为2，22变条件 若本例中的“任意 xR”改为“x0”，求实数 a 的取值范围解：因为全称命题“对于 x0，x 2ax 10”的否定形式为： “存在x00，x ax 010 a2 0 )所以实数 a 的取值范围是( ，2) 若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式全称命题为真命题解决 已知函数 f(x)x 2ax2(1)x1，)，都有 f(x)0，求实数 a 的取值范围；(2)x(1 ，) ，f(x)0 x2ax 20 ，又 x1，所以 x1，故实数 a 的取值范围是(1 ，)(2)f(x)1，所以 xa，x (1，)，2x设

6、 g(x) x(x (1，)，2x依题意得 g(x)a 在(1，)上有解，从而 g(x)maxa由 g(x)在(1，)上是减函数，所以 g(x)0，所以方程 x3x 21 0 在(0，1)内有解，所以 q 为真命题，所以(p)q 为真命题，故选 B6命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是_解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱” 答案：有些长方体不是四棱柱7命题“至少有一个正实数 x 满足方程 x22(a1)x2a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有” ， “满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数 x 都不满足

7、方程 x22(a1)x2a608若 x0R ，x ax 010 为假命题，则 a 的取值范围为_20解析： x0R，x ax 010 为假命题，即对x R，x 2ax10 为真命题20需 (a) 24a；命题 q： x0R ，x 2ax 02a0，如果命题 p20真且命题 q 假，求 a 的取值范围解：因为命题 p 为真命题，所以x R，x 2x a 成立因为( x2x) min ，14所以 a0 时，f (x)2，当 x1由 m22m30 得 m1 或 m3，所以 q 真时 m1 或 m3因为“p”与“pq”同时为假命题，所以 p 为真命题，q 为假命题，所以 m1， 11 )当 p 假 q 真时，由 得 m2，m 1 )综上所述，m 的取值范围为(，1)(1 ，2