2019人教A版数学选修2-1学案(含解析):1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件
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1、12 充分条件与必要条件121 充分条件与必要条件122 充要条件1理解充分条件、必要条件与充要条件的意义 2结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明1充分条件与必要条件命题真假 “若 p,则 q”是真命题 “若 p,则 q”是假命题推出关系 pq p q/ 条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件(1)若 pq,则 p 是 q 的充分条件所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的 “有之必成立,无之未必不成立” (2)若 p
2、q,则 q 是 p 的必要条件所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可有之未必成立,无之必不成立2充要条件如果既有 pq,又有 qp,则可以记作 pq,这时称 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件p 与 q 互为充要条件时,也称“p 等价于 q”“q 当且仅当 p”等 判断(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)“x0”是“(2x1)x 0” 的充分不必要条件( )(2)q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件( )(3)若 p 是 q 的充要条件,则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题 ( )(4)q 不是 p 的必要条件时, “p q”成立( )/ 答案:(1) (2
3、) (3) (4)“x0”是“x 0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案:A已知向量 a(x1,2), b(2,1),则 ab 的充要条件是 ( )Ax Bx112Cx 5 D x0答案:D“log3Mlog 3N”是“MN”成立的_条件答案:充分不必要探究点 1 充分、必要、充要条件的判断下列各题中,p 是 q 的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p:x1 或 x2,q:x 1 ;x 1(2)p:m0,q :x 2x m 0 有实根;(3) p:在ABC 中,A60,q:sin A ;32(4)p:四边形的对
4、角线相等,q:四边形是平行四边形【解】 (1)因为 x1 或 x2x1 ,x 1 x1 或 x2,所以 p 是x 1 x 1q 的充要条件(2)因为 m0方程 x2x m0 的判别式 14m0,即方程有实根,方程x2xm0 有实根,即 1 4m0 m0,所以 p 是 q 的充分不必要条件/ (3)因为在ABC 中,A60 sin A (A120 时,sin A ),在ABC 中,sin / 32 32A A60,32所以 p 是 q 的必要不充分条件(4)因为所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若 pq,q p,则 p 是 q 的充分不必要条件;/
5、 若 p q,qp,则 p 是 q 的必要不充分条件;/ 若 pq,qp,则 p 是 q 的充要条件;若 p q,q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件/ / (2)集合法对于集合 Ax| x 满足条件 p,Bx|x 满足条件 q,具体情况如下:若 AB,则 p 是 q 的充分条件;若 AB,则 p 是 q 的必要条件;若 AB,则 p 是 q 的充要条件;若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件;若 AB,则 p 是 q 的必要不充分条件 (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时,根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进
6、行判断指出下列各题中,p 是 q 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)(1)p:数 a 能被 6 整除,q:数 a 能被 3 整除;(2)p:x 2x20,q:|x2|1;(3)p:ABC 有三个内角相等,q:ABC 是正三角形;(4)p:|a b|ab,q:ab 0解:(1)因为 pq,q p,/ 所以 p 是 q 的充分不必要条件(2)|x2|1 1x211x 3;x 2x20x2 或 x1由于(1 ,3)(,2) (1,),所以“x 2x20”是“|x2|1”的必要不充分条件(3)因为 pq,q p,即 pq,所以 p 是 q 的充要条件(4)因为
7、 ab0 时,| ab|ab,所以“|a b|a b” “ab0” ,即 p q/ / 而当 ab0 时,有|ab|ab,即 qp所以 p 是 q 的必要不充分条件探究点 2 充分条件、必要条件、充要条件的应用已知 p:2x10,q:1m x1m( m0) ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围【解】 p:2x10,q:1m x1m( m0) 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件,即x|1 mx1m x|2x10 ,故有 或 ,1 m 21 m 10 ) 1 m 21 m 10)解得 m3又 m0,所以实数 m 的取值范围为m|0m 31变
8、条件 若本例中“p 是 q 的必要不充分条件”改为“ p 是 q 的充分不必要条件” ,其他条件不变,求实数 m 的取值范围解:p:2x10,q:1m x1m( m0) 因为 p 是 q 的充分不必要条件,设 p 代表的集合为 A,q 代表的集合为 B,所以 AB所以 或1 m 21 m 10 ) 1 m 2,1 m 10.)解不等式组得 m9 或 m9,所以 m9,即实数 m 的取值范围是 m92变问法 本例中 p、q 不变,是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由解:因为 p:2x10,q:1m x1m( m0) 若 p 是 q 的充要条件,则
9、 ,m 不存在 2 1 m10 1 m)故不存在实数 m,使得 p 是 q 的充要条件由条件关系求参数的取值(范围) 的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式( 组)求解 1已知 p:4xa4,q:(x2)(x3)0,若 q 是 p 的充分条件,则 a 的取值范围为_解析:化简 p:a4xa4,q:2x3,由于 q 是 p 的充分条件,故有 解得:1a6a 4 2,a 4 3,)答案:1,62若 p:x 2x60 是 q:ax 10 的必要不充分条件,则实数 a 的值为_解析:p:x 2x 60,即 x2 或 x3q:ax10,当 a0 时
10、,方程无解;当 a0 时,x 1a由题意知 p q,q p,故 a0 舍去;当 a0 时,应有 2 或 3,解得/ 1a 1aa 或 a 12 13综上可知,a 或 a 12 13答案: 或12 13探究点 3 充要条件的证明求证:一元二次方程 ax2bxc 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0,所以方程一定有两不等实根设两根为 x1,x 2,则 x1x2 0,所以正确;中,当 mn 时,mn 不一定成立,所以不正确;中,当 ab 时,a 3b 3 一定成立,但 a3b 3 也一定能推出 ab,即“a 3b 3”是“ab”的充要条件,所以不正确;中,当 ab 时,有 AB,所以“ab”是“
11、AB”的充分条件,所以不正确答案:9下列各题中,p 是 q 的什么条件?q 是 p 的什么条件?(1)p:c0,q:抛物线 yax 2bx c(a0) 过原点;(2)p:x1 且 y1,q:x y2 且 xy1;(3)p:0x3,q:|x 1|2解:(1)c0抛物线 yax 2bxc (a0)过原点;抛物线 yax 2bxc(a0) 过原点c0故 p 是 q 的充要条件,q 是 p 的充要条件(2)x1 且 y1xy 2 且 xy1;而 xy2 且 xy1 x1 且 y1故 p 是 q 的充/ 分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件(3)0x3|x 1| 2,|x1| 2 1x 3 0x
12、3故 p 是 q 的充分不必要条件,/ q 是 p 的必要不充分条件10已知 p:x 22x 3b 恒成立的实数 b 的取值范围解:由于 p:x 22x 30) 依题意,得x|10),所以 解得 a2,1 a 1,1 a 3,2a4, )则使 ab 恒成立的实数 b 的取值范围是 b2,即( ,2 B 能力提升11(2018成都高二检测)下面四个条件中,使 ab 成立的充分不必要条件是( )Aab1 Bab1Ca 2b 2 D a3b 3解析:选 A由 ab1b ,从而 ab1 ab;反之,如 a4,b35,则435 43 51,故 ab ab1,故 A 正确/ / 12设 p: x1;q:(
13、 xa)(xa1)0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a12的取值范围是_解析:因为 q:axa1,p 是 q 的充分不必要条件,所以 或 解得 0a a 12,a 1 1) a 12,a 1 1,) 12答案: 0,1213求关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负的实数根的关于 a 的充要条件解:当 a0 时,x 符合题意12当 a0 时,令 f(x)ax 22x1,由于 f(0)10,当 a0 时, 0,若 4 4a0,1a则 a1,即 0a1 时,f(x)有两个负实数根当 a0 时,因为 f(0)1,44a0 恒成立,所以方程恒有负实数根综上所述,a1 为所求14(选做
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- 2019 人教 数学 选修 学案含 解析 1.2 充分 条件 必要条件 充要条件
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