2019人教A版数学选修2-2学案:1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
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1、11 变化率与导数11.1 变化率问题11.2 导数的概念1.了解导数概念的实际背景 2.会求函数从 x1 到 x2 的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数1平均变化率函数 yf(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率(1)定义式: . y x f(x2) f(x1)x2 x1(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用:刻画函数值在区间 x1,x 2上变化的快慢(4)几何意义:已知 P1(x1,f( x1),P 2(x2,f(x 2)是函数 yf( x)的图象上两点,则平均变化率 表示割线 P1P2 的斜率 y x f(x2) f(x1)x2 x12瞬时变化率函数 y
2、f(x) 在 xx 0 处的瞬时变化率(1)定义式: .lim x 0 y x lim x 0f(x0 x) f(x0) x(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时,平均变化率趋近的值(3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢3导数的概念定义式 lim x 0 lim x 0 y x lim x 0lim x 0f(x0 x) f(x0) x记法 f(x0)或 y|xx 0 实质 函数 yf( x)在 xx 0 处的导数就是 yf (x)在 xx 0 处的瞬时变化率1.对平均变化率的理解(1)函数 f(x)应在 x1,x 2 处有定义(2)x2 在 x1 附近,即 xx 2 x10
3、,但 x 可正可负(3)注意变量的对应,若 xx 2x 1,则 yf(x 2)f(x 1),而不是 yf(x 1)f(x 2)(4)平均变化率可正可负,也可为零但是,若函数在某区间上的平均变化率为 0,不能说明该函数在此区间上的函数值都相等比如,f(x) x2 在区间2,2上的平均变化率为 0,但 f(x)x 2 在 2,2上的图象先下降后上升,值域是0 ,42瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别:瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态,而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态,与该段时间内的某一时刻无关(2)联系:瞬时速度是平均速度的极限值注意 对于任何具体函数或者实际问题,瞬时变化率
4、都是一个精确值,而不是近似值只是现阶段我们还不能求出瞬时变化率,故只能用平均变化率来估计瞬时变化率3对导数概念的理解(1)函数 yf(x)应在 xx 0 及其附近有意义,否则导数不存在(2)若极限 不存在,则称函数 yf(x) 在 xx 0 处不可导 lim x 0f(x0 x) f(x0)x(3)在点 xx 0 处的导数的定义可变形为 f(x0) 或 f(x0)lim x 0f(x0 x) f(x0) x lim x x0.lim x x0f(x) f(x0)x x0判断正误(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)函数 f(x)c(c 为常数)在区间 x1,x 2上的平均变化率 为 0.(
5、) y x(2)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数值与 x 值的正、负无关 ( )(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间 x1,x 2上函数值的变化快慢的物理量( )(4)在导数的定义中,x,y 都不可能为零( )答案:(1) (2) (3) (4)如图,函数 yf( x)在 A, B 两点间的平均变化率是( )A1 B1C2 D2解析:选 B. yx f(3) f(1)3 1 1.1 32已知 f(x)2x1,则 f(0.5)_答案:2函数 yf(x) 在 x1 处的瞬时变化率为 _1x答案:1探究点 1 求函数的平均变化率求函数 yf( x)3x 2 2 在区间x 0,x 0x 上的平均变
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