2019人教A版数学选修2-2学案:1.3.3函数的最大(小)值与导数
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1、13.3 函数的最大(小)值与导数1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系2会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数 yf(x)在闭区间 a,b 上的最值(1)能够取得最值的前提条件:在区间 a,b上函数 yf (x)的图象是一条连续不断的曲线(2)函数的最值必在极值点或端点处取得2求函数 yf( x)在 a,b上的最值的步骤(1)求函数 yf(x )在(a,b)内的极值(2)将函数 yf(x )的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值求函数 yf(x)在 a,b上的最值包含以下两点(1)给定函数
2、的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值常见的有以下几种情况:图中的函数 yf( x)在( a,b) 上有最大值而无最小值;图中的函数 yf(x) 在(a,b)上有最小值而无最大值;图中的函数 yf (x)在(a,b) 上既无最大值又无最小值;图中的函数 yf( x)在( a,b)上既有最大值又有最小值(2)函数 f(x)的图象在区间 a,b上连续不断是 f(x)在 a,b 上存在最大值和最小值的充分不必要条件如函数 f(x) 的图象( 如图)在1,1上|x|, 1 x 1, 且 x 0, 1, x 0 )有间断点,但存在最大值和最小值 判断正误(正确的打“”
3、,错误的打 “”)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值( )(2)函数 f(x)在区间 a,b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得 ( )(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值( )答案:(1) (2) (3) 函数 f(x)2xcos x 在( ,) 上( )A无最值 B有极值C有最大值 D有最小值答案:A函数 yx 33x 3 在区间 3,3上的最小值为( )A1 B5C21 D15答案:D函数 f(x) 的最大值为_xx 1答案:12探究点 1 求函数的最值求下列函数的最值:(1)f(x)2x 312x,x 2,3;(2)f(x) xsin x ,x0,212【解】
4、(1)因为 f(x)2x 312x,所以 f(x)6x 2126(x )(x ),2 2令 f(x)0,解得 x 或 x .2 2因为 f(2) 8 ,f(3)18,f( ) 8 ,f( )8 ;2 2 2 2所以当 x 时,2f(x)取得最小值8 ;2当 x3 时,f(x)取得最大值 18.(2)f(x) cos x,令 f(x)0,12又 x0 ,2,解得 x 或 x .23 43计算得 f(0)0,f(2) ,f ,(23) 3 32f .(43) 23 32所以当 x0 时,f( x)有最小值 f(0)0;当 x2 时,f(x) 有最大值 f(2).求函数最值的步骤第一步:求函数的定义
5、域第二步:求 f(x),解方程 f(x)0.第三步:列出关于 x,f( x),f (x)的变化表第四步:求极值、端点处的函数值,确定最值 1.函数 f(x) (x 2,2)的最大值是 _,最小值是4xx2 1_解析:因为 f(x) ,4(x2 1) 2x4x(x2 1)2 4x2 4(x2 1)2令 f(x)0,得 x1 或 x1.又因为 f(1)2,f(1)2,f(2) ,85f(2) ,85所以 f(x)在2,2上的最大值为 2,最小值为2.答案:2 22求函数 f(x) 的最值x 1ex解:函数 f(x) 的定义域为 xR.x 1exf(x) ,1ex ex(x 1)(ex)2 2 xe
6、x当 f(x)0 时, x2,当 f(x)0 时, x2.所以 f(x)在(,2)上单调递增,在(2,) 上单调递减,所以 f(x)无最小值,且当 x2 时,f(x)maxf(2) .1e2探究点 2 含参数的最值问题已知函数 f(x)e xax 2bx1,其中 a,bR,e2.718 28为自然对数的底数设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间0 ,1 上的最小值【解】 由 f(x)e xax 2bx1,有 g(x)f(x) ex2axb.所以 g(x)e x 2a.因此,当 x0,1时,g(x)12a,e2a当 a 时,g(x )0,12所以 g(x)在0,1上单调递增
7、,因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(0)1b;当 a 时,g(x )0,e2所以 g(x)在0,1上单调递减,因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(1)e 2ab;当 0,所以函数 g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增, g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a) 0,解得 a 不符合题意,舍去e2(3)若 a ,则 2ae,g(x )e x2a0,e2所以函数 g(x)在区间0,1上单调递减,g(x)ming(1)e 2a0,解得 a .综上所述,a .e2 e2(1)含参数的函数最值问题的两类情况能根据条件确定出参数,从而化为不含参数
8、函数的最值问题;对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于 0,等于 0,小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于 0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值(2)已知函数最值求参数值(范围 )的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围) 是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围 已知函数 f(x)ax 36ax 2b,x 1,2的最大值为 3,最小值为29,求 a,b 的值解:由题设知 a0,否则 f(x)b 为常函数,与题设
9、矛盾求导得 f(x)3 ax212ax3ax(x4) ,令 f(x)0,得 x10,x 24( 舍去)当 a0,且 x 变化时,f(x),f(x) 的变化情况如下表:x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f(x) 0 f(x) 7ab 增函数 b 减函数 16ab由表可知,当 x0 时,f( x)取得极大值 b,也就是函数在 1,2上的最大值,所以 f(0)b3.又 f(1)7 a3,f(2)16a3f(1) ,所以 f(2)16a293,解得 a2.综上可得,a2,b3 或 a2,b29.探究点 3 函数最值问题的综合应用设函数 f(x)2x 33ax 23bx 8c 在 x1 及 x2 时
10、取得极值(1)求 a,b 的值;(2)若对于任意的 x0,3,都有 f(x)c 2 成立,求 c 的取值范围【解】 (1)f(x)6x 26ax 3b,因为函数 f(x)在 x1 及 x2 时取得极值,所以 f(1)0,f(2)0,即 解得6 6a 3b 0,24 12a 3b 0,) a 3,b 4. )(2)由(1)可知,f(x)2x 39x 212x8c,f(x)6x 218x126(x1)(x2) 当 x(0 ,1)时,f(x )0;当 x(1 ,2)时,f(x )0;当 x(2 ,3)时,f(x )0.所以,当 x1 时,f( x)取极大值 f(1)58c ,又 f(0)8c,f(3
11、) 98c.所以当 x0 ,3时,f(x)的最大值为 f(3)98c .因为对于任意的 x0 ,3,有 f(x)c 2 恒成立,所以 98cc 2,解得 c1 或 c9.因此 c 的取值范围为( ,1) (9,)若本例中“x0 ,3”变为“ x(0 ,3)”仍有 f(x)0 成立1a解:(1)由题设知 f(x)的定义域为 x(0,) ,f(x) ,g(x) ln x ,1x 1x所以 g(x) .x 1x2令 g(x)0,得 x1.当 x(0 ,1)时,g(x)0,故(1 ,)是 g(x)的单调递增区间因此,x1 是 g(x)在(0 ,)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值
12、为 g(1)1.(2)g(a)g(x)0 成立,1a即 ln a0 成立由(1)知 g(x)的最小值为 1,所以 ln a1 时,证明: x2ln x0,则 f(x)的单当 a 0调递增区间为(0,),(2 分) 含 参 数 应 注 意 分 类 讨 论时,由 f(x)0 得 x ,当 a0 a由 f(x)0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( ,) ,单调递减区间为(0 , )(5a a分)(2)证明:当 x1 时,x2ln x1 时,g( x)0,故 g(x)在(1,)上递增,所以 g(x)g(1)0,所以 x3 x2ln x0.(12 分)23 12利用导数解决不等式问题(如:证明不等式
13、,比较大小等 ),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小) 常与函数最值问题有关因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解1若函数 f(x)导函数的图象是如图所示的一条直线,则( )A函数 f(x)没有最大值也没有最小值B函数 f(x)有最大值,没有最小值C函数 f(x)没有最大值,有最小值D函数 f(x)有最大值,也有最小值解析:选 C.由导函数图象可知,函数 f(x)只有一个极小值点 1,即 f(x)在 x1 处取得最小值,没有最大值2函数 f(x)x 33x (10,得 f(x)的单
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