2019人教A版数学选修2-2学案：2.1.2演绎推理

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1、2.1.2 演绎推理1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.1.演绎推理含义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点 由一般到特殊的推理2.三段论一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理，对特殊情况 做出的判断 S 是 P1.演绎推理的特点（1）演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是

2、正确的.2.为了方便，在运用“三段论”推理时，常常采用省略大前提的表达方式.对于复杂的论证，总是采用一连串的“三段论” ，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提. 3.“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确.判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1） “三段论”就是演绎推理.（ ）（2）演绎推理的结论一定是正确的.（ ）（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（ ）（4）演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.（ ）答案：（1） （2） （3） （4）“所有金属都能导电

3、，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（ ）A.演绎推理 B.类比推理C.合情推理 D.归纳推理解析：选 A.“所有金属都能导电 ”及“铁是金属”均为前提条件，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.“因为四边形 ABCD 是矩形，所以四边形 ABCD 的对角线相等” ，该推理的大前提是（ ）A.矩形都是四边形B.四边形的对角线都相等C.矩形的对角线相等D.对角线都相等的四边形是矩形解析：选 C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形” “对角线相等” ，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.正弦函数是奇函数，f（x）sin x2 是正弦函数，所以 f（x）sin x2

4、是奇函数，以上“三段论”中的 是错误的.答案：小前提探究点 1 用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成三段论的形式.（1 ）等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的底角，则AB.（2 ）通项公式为 an2n3 的数列 an为等差数列.【解】 （1）等腰三角形的两底角相等，大前提 A ，B 是等腰三角形的底角，小前提AB .结论（2 ）数列a n中，如果当 n2 时，a na n1 为常数，则a n为等差数列，大前提通项公式为 an2n3 时，若 n2，则 ana n1 2n32（n1）3 2（常数） ，小前提通项公式为 an2n3 的数列a n为等差数列. 结论将演绎推理写成三段论

5、的方法（1）用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.（2）用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略.（3）在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 1.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数，某奇数是 9 的倍数，故该奇数是 3 的倍数.”上述推理（ ）A.小前提错 B.结论错C.正确 D.大前提错解析：选 C.在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的.2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式：（1）一切偶数都能被 2 整除，0 是偶数，所以 0 能被 2 整除；（2）三角形的内角和

6、是 180，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180；（3）循环小数是有理数，0.332,是循环小数，所以 0.332,是有理数.解：（1）一切偶数都能被 2 整除， 大前提0 是偶数， 小前提所以 0 能被 2 整除. 结论（2）三角形的内角和是 180， 大前提等边三角形是三角形， 小前提故等边三角形的内角和是 180. 结论（3）循环小数是有理数， 大前提0.332,是循环小数， 小前提所以 0.332,是有理数. 结论探究点 2 演绎推理在证明代数中的应用已知函数 f（x ）a x （a1） ，求证：函数 f（x ）在（1，）上为x 2x 1增函数.【证明】 如果在（1，）上

7、f（x ）0，那么函数 f（x）在（ 1，）上是增函数，大前提因为 a1，所以 f（x）a xln a 0，小前提3（x 1）2所以函数 f（x）在（ 1，）上为增函数.结论（1）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.（2）在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理（如基本不等式等） ，这是大前提，然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.在锐角三角形 ABC 中，求证 sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C.证

8、明：因为在锐角三角形中， AB ，所以 A B，2 2所以 0 BA .又因为在 内，正弦函数是单调递增函数，所以 sin Asin2 2 (0，2)cos B，即 sin Acos B， 同理，sin Bcos C， sin Ccos A.(2 B)以上两端分别相加，有 sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C.探究点 3 演绎推理在证明几何中的应用如图，D，E，F 分别是 ABC 中 BC，CA ，AB 边上的点，BFDA， DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理.【证明】 因为同位角相等，两条直线平行， 大前提BFD 与A 是同位角，且BFDA， 小前提

9、所以 FDAE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且 FDAE， 小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形. 结论因为平行四边形的对边相等， 大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边， 小前提所以 EDAF. 结论若本例中增加条件“C A”，证明：BFD BDF.证明：因为同位角相等，两直线平行， 大前提BFD 与A 是同位角，且BFDA， 小前提所以 FDAE. 结论因为两直线平行，同位角相等， 大前提FDAE，且BDF 与C 是同位角， 小前提所以BDFC. 结论又因为CA， BFDA 小前提所以BFDBDF . 结论用三段论证明几何问题的一般步骤

10、（1）理清楚证明命题的一般思路.（2）找出每一个结论得出的原因.（3）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论. 在梯形 ABCD 中，ABDCDA，AC 和 BD 是梯形的对角线.求证：CA 平分BCD，BD 平分ABC .证明：如图，因为等腰三角形两底角相等， 大前提ADC 是等腰三角形，1 和2 是两个底角，小前提所以12. 结论因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提1 和3 是平行线 AD，BC 被 AC 截得的内错角，小前提所以13. 结论因为等于同一个角

11、的两个角相等， 大前提21，31， 小前提所以23，即 CA 平分 BCD. 结论同理可证 BD 平分ABC.1.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）A.使用了“三段论” ，但大前提错误B.使用了“三段论” ，但小前提错误C.使用了归纳推理D.使用了类比推理解析：选 A.大前提是全称命题，而小前提是特称命题 .因此命题的推理过程是“由一般到特殊” ，是演绎推理，且是“三段论”的形式.有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误.2.下列四种推理是合情推理的是（ ）已知两条直线平行同旁内角互补

12、，如果 和 是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角，那么 180 ；由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；数列a n中，由 an2n1（nN *）推出 a1019；由数列 1，0，1，0，推测出通项公式 an （1） n1 （nN *）.12 12A. B.C. D.解析：选 B.是由一般到特殊的推理，是演绎推理；是由特殊（平面三角形的性质）到特殊（空间四面体的性质）的推理，是类比推理；是由数列前几项猜测通项 an，是由个别到一般的推理，是归纳推理.故是合情推理.3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为 .ycos x（x R）是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x（x R）是周期

13、函数.答案：4.已知数列a n满足 a11，a 23，a n2 3a n1 2a n（n N *）.（1）证明：数列a n1 a n是等比数列；（2）求数列a n的通项公式.解：（1）证明：因为 an2 3a n1 2a n，所以 an2 a n1 2a n1 2a n2（a n1 a n） ，所以 2（nN *）an 2 an 1an 1 an而 a2a 12.所以数列a n1 a n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.（2）由（1）得 an1 a n2 n（nN *）.所以 an（a na n1 ）（a n1 a n2 ）（a 2a 1）a 12 n1 2 n2 212 n1（nN *

14、）.知识结构 深化拓展A 基础达标1.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.两条直线平行，同位角相等，因为 A 和B 是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角，所以ABB.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C.由 633，835，10 37，1257，1477，得出结论：一个偶数（大于 4）可以写成两个素数的和D.在数列a n中， a11，a n （n2） ，由此归纳出数列a n的通项公12(an 1 1an 1)式解析：选 A.A 中，由一般结论“两条直线平行，同位角相等 ”推出特例“AB”是演绎推理

15、；B、C、D 中，均是由特殊到一般或特殊的推理，是合情推理.2.“对于三条直线 a，b，c，可由 ab，ac 推得 bc ”，则以下说法正确的是（ ）A.三条直线 a，b，c 是大前提B.ab 是大前提C.ab，ac 是小前提D.以上说法都不正确解析：选 C.推理的大前提是：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行；小前提是：三条直线 a，b，c，a b，a c；结论是：bc .3.“三角函数是周期函数，ytan x，x 是三角函数，所以 ytan x，x( 2，2)是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ）( 2，2)A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理

16、形式不正确解析：选 C.y tan x，x 只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，( 2，2)所以小前提错误，导致整个推理结论错误.4.（2017高考全国卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选 D.依题意，四人中有 2 位优秀，2 位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、

17、丙必有 1 位优秀，1 位良好，甲、丁必有 1 位优秀，1 位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择 D.5.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d的一个近似公式 d ，人们还用过一些类似的近似公式，根据 3.141 59判断，3163V下列近似公式中最精确的一个是（ ）A.d B.d36031V 32VC.d D.d 3158V 32111V解析：选 D.由 V ，解得 d ，代入选项 A 得 3.1；代43(d2)336

18、V 31660入选项 B 得 3；代入选项 C 得 3.2； 代入选项 D 得62 6815 3.142 857.由于选项 D 中的值最接近 的真实值，故选 D.116216.求函数 y 的定义域时，第一步推理中大前提是 有意义，即 a0，小前log2x 2 a提是 有意义，结论是 .log2x 2解析：由三段论的形式可知，结论是 log2x20.答案：log 2x2 07.以下推理过程省略的大前提为： .因为 a2b 22ab，所以 2（a 2b 2）a 2b 22ab.解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了 a2b 2，故大前提为：若ab，则 ac bc .答案：若 ab，则

19、 acbc8.已知函数 f（x ）a ，若 f（x）为奇函数，则 a .12x 1解析：因为奇函数 f（x ）在 x0 处有意义，则 f（0）0，而奇函数 f（x ）a的定义域为 R，所以 f（0）a 0，所以 a .12x 1 120 1 12答案：129.把下列演绎推理写成三段论的形式.（1）一切奇数都不能被 2 整除， （2 2 0171）是奇数，所以（2 2 0171）不能被 2 整除.（2）因为ABC 三边的长依次为 3，4，5，所以ABC 是直角三角形.解：（1）一切奇数都不能被 2 整除，大前提22 0171 是奇数，小前提22 0171 不能被 2 整除.结论（2）一条边的平方

20、等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提ABC 三边的长依次为 3，4，5，且 324 25 2，小前提ABC 是直角三角形.结论10.在数列a n中，a 12，a n1 4a n3n1，nN *.（1）证明：数列a nn是等比数列.（2）求数列a n的前 n 项和 Sn.解：（1）证明：因为 an1 4a n3n1，所以 an1 （n1）4（a nn） ，nN *.又 a111，所以数列a n n是首项为 1，公比为 4 的等比数列 .（2）由第一问可知 ann4 n1 ，所以 an4 n1 n.所以数列a n的前 n 项和 Sn .4n 13 n（n 1）2B 能力提升11.袋中装

21、有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：选 B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除 A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下

22、的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除 C.12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是 .解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖.答案：乙和丁13.如图所示

23、，在锐角三角形 ABC 中，AD BC 于点D，BE AC 于点 E，D、E 是垂足，求证：（1）ABD 是直角三角形；（2）AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等 .证明：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提又因为在ABC 中，AD BC，即 ADB 90，小前提所以ABD 是直角三角形. 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提而 M 是 RtABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线， 小前提所以 DM AB. 结论12同理，EM AB.12因为等于同一个量的两个量相等， 大前提又因为 DM AB，EM AB 小前提12 12所以 DMEM，

24、即 M 到 D、E 的距离相等. 结论14.（选做题）已知 a，b，c 是实数，函数 f（x）ax 2bxc，g（x）ax b.当1x1 时， |f（x ）| 1.（1）求证：|c|1；（2）当1x1 时，求证：2g（x）2.证明：（1）因为 x0 满足1x1 的条件，所以|f（ 0）| 1.而 f（0）c，所以|c| 1.（2）当 a0 时，g（x）在 1，1 上是增函数，所以 g（1）g（x）g（1）.又 g（1）abf（1）c，g（1）abf（ 1）c ，所以f（1）c g（x）f（1）c ，又1f（1）1，1 f（1）1，1c1，所以f（1）c 2，f（1）c2，所以2g（x）2.当 a0 时，可用类似的方法，证得2g（x）2.当 a0 时，g（x）b，f（x）bxc，g（x）f（1） c，所以2g（x）2.综上所述，2g（x）2.