2019人教A版数学选修2-2学案:2.1.1合情推理
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1、21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理 2.了解合情推理在数学发现中的作用1归纳推理和类比推理归纳推理 类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比 )特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳
2、、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理过程 从 具 体 问题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象,归纳出一般性的结论,该结论超越了前提所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的,结论是否正确,需要经过逻辑证明和实践检验.因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.(3)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么得到的一般性结论也就越可靠. 2.类比推理的
3、特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,即以原有认识作基础,类比出新的结果.(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.(3)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.判断正误(正确的打“” ,错误的打“” )(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程.( )(2)归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确.( )(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )答案:(1) (2) (3)某学生通过计算发现:2 111
4、 2 能被 12 整除,3 2122 2 能被 22 整除,43173 2 能被 32 整除.由此猜想当 nN *时, (n1) n1 能被 n2 整除.该学生的推理是( )A.类比推理 B.归纳推理C.演绎推理 D.上述都不正确解析:选 B.该学生的推理是从个别到一般的推理,所以是归纳推理.下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为( )A.三角形 B.梯形C.平行四边形 D.矩形答案:C各项都为正数的数列a n中,a 11,a 23,a 36,a 410,猜想数列a n的通项公式为 .答案:a nn(n 1)2探究点 1 数与式的推理学生用书 P45(1)给出下面的等式:192
5、11,1293111,123941 111,1 2349511 111,12 34596111 111,猜想 123 45697 等于( )A.1 111 110 B.1 111 111C.1 111 112 D.1 111 113(2)观察下列式子:1 1,12 131 ,12 13 17321 2,12 13 115则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为 .【解析】 (1)由几组数据观察可知,等号左边变化的依次为 1 和 2,12 和 3,123和 4,1 234 和 5,12 345 和 6,等号右边依次为 2 个 1, 3 个 1,4 个 1,5 个 1,6 个 1,因此猜测当
6、等号左边为 123 456 和 7 时,对应等号右边为 7 个 1.(2)观察式子可得规律:不等号的左侧是 1 ,共(2 n1 1)项的和;不等号的右侧是12 13 12n 1 1(nN *).n 12故猜想此类不等式的一般形式为 1 (nN *).12 13 12n 1 1n 12【答案】 (1)B(2)1 (nN *)12 13 12n 1 1n 12由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论. 已知:f(x )
7、,设 f1(x )f(x) ,f n(x )f n1 (f n1 (x) )x1 x(n1 ,且 n N*) ,则 f3(x) ,猜想 fn(x) (nN *).解析:因为 f(x ) ,x1 x所以 f1(x) .x1 x又因为 fn(x) fn1 (f n1 ( x) ) ,所以 f2(x) f1(f 1(x) ) ,x1 x1 x1 x x1 2xf3(x)f 2(f 2(x) ) ,x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x)f 3(f 3(x) ) ,x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x)f 4(f 4(x) ) ,x1 8x1 8 x1 8x x1 16x所以根据
8、前几项可以猜想 fn( x) .x1 2n 1x答案: x1 4x x1 2n 1x探究点 2 几何图形中的归纳推理学生用书 P45(1)用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示:按照上面的规律,第 n(nN *)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n2 B.8n2C.6n2 D.8n2(2)如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n1 ,nN *)个点,每个图形总的点数记为 an,则 a6 ,a n (n1 ,nN *).【解析】 (1)观察易知第 1 个“金鱼”图需要火柴棒 8 根,而第 2 个“金鱼”图比第 1 个“金鱼”图多的部分需要火柴棒 6 根,第 3 个
9、“金鱼”图比第 2 个“金鱼”图多的部分需要火柴棒 6 根,由此可猜测第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第(n1)个“金鱼”图需要火柴棒的根数多 6,即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以 8 为首项,6 为公差的等差数列a n,易求得通项公式为 an6n 2(nN *).(2)依据图形特点,可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点,因此a636315.由 n2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an3n3(n1,nN *).【答案】 (1)C (2)15 3n3归纳推理在图形中的应用策略1.把 1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角
10、形(如图所示).则第七个三角形数是( )A.27 B.28C.29 D.30解析:选 B.把 1,3,6,10, 15,21,依次记为 a1,a 2,则可以得到a2a 12,a 3a 23,a 4a 34,a 5a 45,a 6a 56,所以 a7a 67,即a7a 6728.2.图(1)是棱长为 1 的小正方体,图(2) (3)是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第 1 层、第 2 层、第 3 层将第 n 层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题:(1)按照要求填表:n 1 2 3 4 Sn 1 3 6 (2)S 10 ;(3)S n (nN *) .解析:
11、第 1 层:1 个;第 2 层:3 个,即(12)个;第 3 层:6 个,即(123)个;第 4 层:10 个,即(1234)个;,由此猜想,第 n 层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上 n,所以Sn123n (nN *) ,S 1055.n(n 1)2答案:(1)10 (2)55 (3)n(n 1)2探究点 3 类比推理及其应用学生用书 P46(1)若 Sn是等差数列a n的前 n 项和,则有 S2n 1(2n1)a n,类似地,若 Tn是等比数列 bn的前 n 项积,则有 T2n1 .(2)如图,在 RtABC 中,C90.设 a,b,c 分别表示 3 条边的长度,由勾股定理,得
12、 c2a 2b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.【解】 (1)T 2n1 b 1b2b3b2n1 b .故填 b .2n 1n 2n 1n(2)如题图,在 RtABC 中, C90 .设 a,b,c 分别表示 3 条边的长度,由勾股定理,得 c2a 2b 2.类似地,如图所示,在四面体 PDEF 中,PDFPDE EDF90 .设 S1,S 2,S 3 和 S 分别表示PDF,PDE, EDF 和 PEF 的面积,相应于直角三角形的两条直角边 a,b 和 1 条斜边 c,图中的四面体有 3 个“直角面”S 1,S 2,S 3 和 1 个“斜面”S.于是,类比勾
13、股定理的结构,我们猜想 S2S S S .21 2 23若本例(2)中“由勾股定理,得 c2a 2b 2”换成“cos 2Acos 2B1” ,则在空间中,给出四面体性质的猜想.解:如图,在 RtABC 中,cos 2Acos 2B 1.(bc)2(ac)2a2 b2c2于是把结论类比到四面体 PABC中,我们猜想,四面体 PABC中,若三个侧面PAB,PB C,PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为 ,则cos2cos 2cos 21.类比推理的一般步骤1.下面使用类比推理正确的是( )A.“若 a3b3,则 ab”类推出“若 a0b0,则 a b”B.“若(ab)c acbc”类推出“
14、(ab)cacbc”C.“若(ab)c acbc”类推出“ (c0) ”a bc ac bcD.“(ab) na nbn”类推出“ (ab) na nb n”解析:选 C.A 错,因为类比的结论 a 可以不等于 b;B 错,类比的结论不满足分配律;C 正确; D 错,乘法类比成加法是不成立的.2.已知ABC 的边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,用 SABC 表示ABC 的面积,则 SABC r(abc ).类比这一结论有:若三棱锥 ABCD 的内切球半径为 R,则三棱12锥的体积 VABCD .解析:内切圆半径 r 内切球半径 R, 类 比 三角形的周长:abc 三棱锥各面的面积和:
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