2019人教A版数学选修2-2学案：3.2.2复数代数形式的乘除运算

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1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.1.复数乘法的运算法则和运算律（1）复数的乘法法则设 z1abi，z 2c di（a，b，c，dR） ，则 z1z2（abi） （c di）（acbd）（adbc ）i .（2）复数乘法的运算律对任意复数 z1、z 2、z 3C，有交换律 z1z2z 2z1结合律 （ z1z2） z3z 1（z 2z3）乘法对加法的分配律 z1（z 2z 3）z 1z2z 1z32.共轭复数（1）如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭

2、复数.z的共轭复数用 表示，即 zabi（a，bR） ，则 abi.z z （2）复数与共轭复数的乘法性质z （abi） （abi）a 2b 2.z 3.复数的除法法则设 z1abi，z 2c di（c di0） ，则 i（c di0）.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d21.复数的乘法的两点说明（1）复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i 2 换成1） .（2）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用. 2.对复数除法的两点说明（1）分子、分母同乘以分母的共轭复数 cdi ，化简后即得结果，这个过

3、程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.（2）注意最后结果要将实部、虚部分开.3.共轭复数的注意点（1）结构特点：实部相等，虚部互为相反数.（2）几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）两个复数的积与商一定是虚数.（ ）（2）两个共轭复数的和与积是实数.（ ）（3）复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.（ ）答案：（1） （2） （3）（2017高考全国卷） （1 i） （2i ）（ ）A.1i B.13iC.3i D.33i解析：选 B.依题意得（1i） （2i）2i 23i 13i，选 B.（ ）1

4、3i1 iA.12i B.12i C.12i D.12i答案：B若 x2yi 和 3xi 互为共轭复数，则实数 x ，y .答案：1 1探究点 1 复数代数形式的乘除运算（1） （1i ） ；( 12 32i)(32 12i)（2） ；（1 2i）2 3（1 i）2 i（3） .（1 4i）（1 i） 2 4i3 4i【解】 （1） （1i ）( 12 32i)( 32 12i) （1 i）( 34 34) (34 14)i （1i） i( 32 12i) ( 32 12) (12 32) i.1 32 1 32（2） （1 2i）2 3（1 i）2 i 3 4i 3 3i2 i i.i2 i

5、 i（2 i）5 15 25（3） （1 4i）（1 i） 2 4i3 4i 5 3i 2 4i3 4i 7 i3 4i 1i.（7 i）（3 4i）（3 4i）（3 4i） 21 28i 3i 425 25 25i25解决复数的乘、除运算问题的思路（1）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将 i2 换成1，并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（abi）2a 22abib 2i2a 2b 22abi ， （abi ）3a 33a 2bi3ab 2i2b 3i3a 33ab 2（3a 2bb 3）i.（2）复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除

6、法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 1.（2017高考全国卷 ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A.i（1i） 2 B.i2（1i ）C.（1i） 2 D.i（1i）解析：选 C.i（ 1i） 2i2i 2，不是纯虚数，排除 A；i 2（1i ）（1i）1i，不是纯虚数，排除 B；（1i） 22i，2i 是纯虚数 .故选 C.2.计算：（1） （4i） （62i）（7i） （43i） ；（2） ；（3） .3 2i2 3i 3 2i2 3i （i 2）（i 1）（1 i）（i 1） i解：（1） （4i） （62i）（7i）

7、 （43i）（248i6i2）（2821i4i3）（262i）（3117i）515i.（2） ii 0.3 2i2 3i 3 2i2 3i i（2 3i）2 3i i（2 3i）2 3i（3） （i 2）（i 1）（1 i）（i 1） i i2 i 2i 2i 1 i2 i i 1i.1 3ii 2 2 i 6i 3i25 5 5i5探究点 2 i 的运算性质（1） 等于 .(1 i1 i)2 017 （2）化简 i2i 23i 3100i 100.【解】 （1） i 2 017（i 4）(1 i1 i)2 017 （1 i）（1 i）（1 i）（1 i）2 017 (2i2)2 017 50

8、4i1 504ii.故填 i.（2）设 Si2i 23i 3100i 100，所以 iSi 22i 399i 100100i 101，得（1i）Sii 2i 3i 100100i 101 100i 1010100i100i.i（1 i100）1 i所以 S 100i1 i 100i（1 i）（1 i）（1 i） 5050i. 100（ 1 i）2所以 i2i 23i 3100i 1005050i.（1）等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即ini n1 i n2 i n3 0（nN *）.（2）记住以下结果，可提高运算速度.（1i） 22i， （1i） 22i.

9、 i， i.1 i1 i 1 i1 i i.1i1.复数 z ，则 z 2z 4z 6z 8z 10 的值为（ ）1 i1 iA.1 B.1C.i D.i解析：选 B.z2 1，所以 11111 1.(1 i1 i)22.计算：（1） ；2 2i（1 i）2 ( 21 i)2 016 （2）ii 2i 2 017.解：（1）原式 2（1 i） 2i (22i)1 008 i（1i）（i） 1 008ii 2（1） 1 008i1 008i1i 4252i11i.（2）法一：原式 i（1 i2 017）1 i i i2 0181 i i.i （i4）504i21 i i 11 i （1 i）（1

10、 i）（1 i）（1 i） 2i2法二：因为 ini n1 i n2 i n3 i n（1i i 2i 3）0（nN *） ，所以原式（i i 2i 3i 4）（i 5i 6i 7i 8）（i 2 013i 2 014i 2 015i 2 016）i 2 017i 2 017（i 4） 504i1 504ii.探究点 3 共轭复数（1）已知 a，bR， i 是虚数单位，若 ai 与 2bi 互为共轭复数，则（abi） 2（ ）A.54i B.54iC.34i D.34i（2）把复数 z 的共轭复数记作 z，已知（12i ）z43i，求 z.【解】 （1）选 D.因为 a i 与 2bi 互为共

11、轭复数，所以 a2，b1，所以（abi） 2（2i） 234i.（2）设 zabi（a，bR） ，则 zabi，由已知得：（12i） （abi）（a2b）（2ab）i43i，由复数相等的定义知， 得 a2，b1，a 2b 4，2a b 3.)所以 z2i.若把本例（2）条件改为（12i ）z43i ，求 .解：设 zxyi（x，y R） ，则（12i） （x yi）43i，得 解得x 2y 4，2x y 3，) x 2，y 1，)所以 z2i.所以 i.2 i2 i 35 45共轭复数性质的巧用（1）z |z| 2| |2 是共轭复数的常用性质.z z （2）实数的共轭复数是它本身，即 zR

12、z ，利用此性质可以证明一个复数是实z 数.（3）若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. z 1.若复数 z 满足 i，其中 i 为虚数单位，则 z（ ）A.1i B.1iC.1i D.1i解析：选 A.由题意 i（1i）1i ，所以 z1i，故选 A.z 2.已知 zC， 为 z 的共轭复数，若 z 3i 13i，求 z.z z z 解：设 zabi（a，bR） ，则 abi（a，bR） ，z 由题意得（abi） （abi）3i（abi ）13i ，即 a2b 23b3ai13i，则有 a2 b2 3b 1， 3a 3， )解得 或 所以 z1 或 z13

13、i.a 1，b 0 ) a 1，b 3. )1.复数 zi（1i） 2（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A.2 B.2C.2i D.2i解析：选 A.因为 zi（1i） 2i （12ii 2）i 2i2，所以 2.z 2.若复数（1bi） （2i）是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数） ，则 b（ ）A.2 B.12C. D.212解析：选 D.因为（1bi） （2i）2b（2b1）i 是纯虚数，所以 b2.3.已知 i 为虚数单位，则复数 的模等于（ ）i2 iA. B. C. D.5 333 55解析：选 D.因为 i，所以 | | i|i2 i i（2 i）（2 i）（2 i） i（2

14、 i）5 15 25 i2 i 15 25 ，故选 D.（ 15）2 （25）2 554.计算：（1） （1i） （ i） （1 i） ；12 32（2） （1i） 2 016；（3） （23i）（12i）.解：（1）原式（1i） （1 i ） （ i）12 32（1i 2） （ i）12 322（ i）12 321 i.3（2）原式（1i） 21 008（ 12i i 2） 1 008（2i ） 1 0082 1 008i1 0082 1 008（i 2）5042 1 008.（3）原式 2 3i1 2i（ 2 3i）（1 2i）（1 2i）（1 2i）（ 2 6） （3 4）i12 22

15、i.45 75知识结构 深化拓展1.复数常见运算小结论（1） （1i） 22i 1i.2i1 i（2） （1i） 22i 1i 1i. 2i1 i 2i1 i（3） （1i） （1i）2 1i 1i.21 i 21 i（4） i i.1 i1 i 1 i1 i（5）i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1（nZ）.2.常用公式（abi） （abi）a 2b 2；（abi）2a 2b 22abi；（abi） 3a 33ab 2（3a 2bb 3）i.A 基础达标1.（2017高考全国卷）复平面内表示复数 zi（2i）的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四

16、象限解析：选 C.z i（2i）2ii 212i ，故复平面内表示复数 zi（2i）的点位于第三象限，故选 C.2.（2018武汉期末检测）设复数 z ，则 z 的共轭复数为（ ）3 2i2 3iA.1 B.1C.i D.i解析：选 D.z ii ，于是 z 的共轭复数为i.3 2i2 3i 2 3i2 3i3.（2018荆州模拟）若 a 为实数，且 3i，则 a（ ）2 ai1 iA.4 B.3C.3 D.4解析：选 D.因为 3i，所以 2ai （3i） （1i）24i，又 aR，所以2 ai1 ia4.4.设复数 z 满足 i，则| z|（ ）1 z1 zA.1 B. 2C. D.23解

17、析：选 A.由 i，1 z1 z得 z i， 1 i1 i （ 1 i）（1 i）2 2i2所以|z| |i|1，故选 A.5.若 z 6，z 10，则 z（ ）z z A.13i B.3iC.3i D.3i解析：选 B.设 zabi（a，bR ） ，则 abi，z 所以 2a 6，a2 b2 10，)解得 a3，b1，则 z3i.6.已知 i 为虚数单位，若复数 z ，z 的共轭复数为 ，则 z .1 2i2 i z z 解析：依题意，得 z i，所以 i ，所以 z i（i ）1.（1 2i）（2 i）（2 i）（2 i） z z 答案：17.设复数 z2i，若复数 z 的虚部为 b，则

18、b 等于 .1z解析：因为 z2i，所以z 2i 2i 2 i i i，所以 b .1z 1 2 i 2 i（ 2 i）（ 2 i） 25 15 125 45 45答案：458.设 x，y 为实数，且 ，则 xy .x1 i y1 2i 51 3i解析： 可化为 ，即x1 i y1 2i 51 3i x（1 i）（1 i）（1 i） y（1 2i）（1 2i）（1 2i） 5（1 3i）（1 3i）（1 3i） ，从而 5（x xi）2（y 2yi）515i，于是 解得x xi2 y 2yi5 5 15i10 5x 2y 5，5x 4y 15，)所以 xy4.x 1，y 5，)答案：49.计算

19、：（1） （2i） （3i ） ；( 12 32i)（2） .（2 2i）2（4 5i）（5 4i）（1 i）解：（1） （2i） （3i ）( 12 32i) （7i）( 12 32i) i.3 72 73 12（2） （2 2i）2（4 5i）（5 4i）（1 i） 4i（4 5i）5 4 9i 20 16i1 9i 4（5 4i）（1 9i）82 4（41 41i）8222i.10.已知复数 z .（1 i）2 3（1 i）2 i（1）求复数 z；（2）若 z2azb1i，求实数 a，b 的值.解：（1）z 1i. 2i 3 3i2 i 3 i2 i （3 i）（2 i）5（2）把 z1

20、i 代入 z2az b1i ，得（1i） 2a（1i）b1i，整理得ab（2a）i1i，所以 解得a b 1，2 a 1，) a 3，b 4. )B 能力提升11.已知复数 z1i，则 （ ）z2 2zz 1A.2i B.2iC.2 D.2解析：选 B.法一：因为 z1 i ，所以 2i.z2 2zz 1 （1 i）2 2（1 i）1 i 1 2 i法二：由已知得 z1i，从而 z2 2zz 1 （z 1）2 1z 1 2i.（ i）2 1 i 2i12.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z bi（a，bR）为“理想复数” ，则（ ）a1 2iA.a5b0 B.3

21、a5b0C.a5b0 D.3a5b0解析：选 D.因为 z bi bi （ b）i.由题意知， a1 2i a（1 2i）（1 2i）（1 2i） a5 2a5 a5b，则 3a5b0.2a513.已知复数 z 满足 z（13i ）（1i）4.（1）求复数 z 的共轭复数；（2）若 zai，且复数 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，求实数 a的取值范围.解：（1）z1i3i3424i，所以复数 z 的共轭复数为24i.（2）2（4a）i，复数 对应向量为（2，4a） ，其模为 .4 （4 a）2 20 8a a2又复数 z 所对应向量为（2，4） ，其模为 2 .由复数 对应向量的模

22、不大于复数 z 所5对应向量的模得，208aa 220，a 28a0，a（a8）0，所以，实数 a 的取值范围是8a0.14.（选做题）设 z 是虚数， z 是实数，且12.1z（1）求|z|的值及 z 的实部的取值范围；（2）设 ，求证： 为纯虚数 .1 z1 z解：因为 z 是虚数，所以可设 zxy i（x，y R，且 y0） ，则 z （xy i） x yi i.1z 1x yi x yix2 y2 (x xx2 y2) (y yx2 y2)（1）因为 是实数，且 y0，所以 y 0，即 x2y 21.yx2 y2所以|z| 1，此时 2x.又1 2，所以 12x2.所以 x1，12即 z 的实部的取值范围是 .( 12，1)（2）证明：1 z1 z1 （x yi）1 （x yi）（1 x yi）（1 x yi）（1 x）2 y2 .1 x2 y2 2yi1 2x x2 y2又 x2y 21，所以 i.y1 x因为 y0，所以 为纯虚数.