2019人教A版数学选修2-2学案：2.2.2反证法

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1、2.2.2 反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.反证法的定义及证题关键对反证法的三点说明（1）反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.（2）反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定” ，其中第一个否定是指“否定结论（假设） ”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法” ，书写格式易错之处是“假设”写成“设”.（3）并非所有问题都可采用反证法证明，只有当问题从正面求解不好处理或较烦琐时，才考虑反证法. 判断

2、正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）反证法属于间接证明问题的方法.（ ）（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.（ ）（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（ ）答案：（1） （2） （3）应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论.A. B. C. D.答案：C命题“ABC 中，若AB，则 ab”的结论的否定应该是（ ）A.ab B.ab C.ab D.ab答案：B用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：AB C9090C180，这与三角形内角和为 1

3、80相矛盾，A B90 不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A、B、C 中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的排列为 .解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.答案：探究点 1 用反证法证明否定性命题已知 a，b，c，dR ，且 adbc1，求证：a 2b 2c 2d 2abcd1.【证明】 假设 a2b 2c 2d 2abcd1.因为 adbc1，所以 a2b 2c 2d 2abcdbc ad0，即（ab） 2（cd） 2（ad） 2（bc） 20.所以 ab0，cd0，ad0，bc0，则 abcd0，这与已知条件 adbc

4、1 矛盾，故假设不成立.所以 a2b 2c 2d 2abcd1.（1）用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.（2）用反证法证明数学命题的步骤已知三个正数 a，b，c，若 a2，b 2，c 2 成公比不为 1 的等比数列，求证：a，b，c 不成等差数列.证明：假设 a，b，c 构成等差数列，则有 2bac，即 4b2a 2c 22ac ，又 a2，b 2，c 2 成公比不为 1 的等比数列，且 a，b，c 为正数，所以 b4a 2c2 且 a，b，c 互不相等，即 b2

5、ac ，因此 4aca 2c 22ac ，所以（ ac） 20，从而 acb，这与 a，b，c 互不相等矛盾.故 a，b，c 不成等差数列.探究点 2 用反证法证明唯一性命题若函数 f（x ）在区间 a，b上的图象连续不断，且 f（a）0，且f（x）在 a，b 上单调递增，求证：f（x ）在（a，b）内有且只有一个零点.【证明】 由于 f（x ）在 a，b上的图象连续不断，且 f（a）0，即f（a）f（b）m，则 f（n） f（m） ，即 00，矛盾；若 n0，则方程 x 2sin x 的根的情况是（ ）1xA.有实根 B.无实根C.恰有一实根 D.无法确定解析：选 B.x0 时，x 2，而

6、2sin x2，但此二式中 “”不可能同时取得，所以1xx 2sin x 无实根.1x4.设 x，y，z 都是正实数，ax ，by ，cz ，则 a，b，c 三个数（ ）1y 1z 1xA.至少有一个不大于 2 B.都小于 2C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2解析：选 C.若 a，b，c 都小于 2，则 abc6，而abcx y z 6，显然，矛盾，所以 C 正确.1x 1y 1z5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（

7、 ）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：选 C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在ABC 中，若 ABAC， P 是ABC 内的一点，APBAPC，求证：BAP CAP，用反证法证明时的假设为 .解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP 的对立面是BAPCAP 或BAP CAP.答案：BAP CAP 或BAPCAP7.下列命题适合用反证法证明的是 （填序号）.已知函数 f（x ）a x （a1） ，证明：方程 f（x）0 没有负实数根；x 2x 1若 x，yR，x0，y 0，且 xy2，求证： 和 中至少有一个小于 2

8、；1 xy 1 yx关于 x 的方程 axb（a0）的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.解析：是“否定性”命题；是“至少”类命题；是“唯一性”命题，且题中条件较少；不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.答案：8.设 a，b 是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a 2b 22.其中能推出“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 （填序号）.解析：若 a ，b ，则 ab1，但 a1，b1，故不能推出.若 ab1，则13 23ab2，故不能推出.若 a2，b1，则 a2b 22，故不能推出.对于，即ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1.反证法

9、：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不成立，故 a，b中至少有一个大于 1.答案：9.已知 a1a 2a 3a 4100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4 中至少有一个数大于 25.证明：假设 a1，a 2，a 3，a 4 均不大于 25，即 a125，a 225，a 325，a 425，则 a1a 2a 3a 425252525100，这与已知 a1a 2a 3a 4100 矛盾，故假设错误.所以 a1，a 2，a 3，a 4 中至少有一个数大于 25.10.如图所示，设 SA、SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点.求证：AC 与平面 S

10、OB 不垂直.证明：如图所示，连接 AB，假设 AC平面 SOB.因为直线 SO 在平面 SOB 内，所以 ACSO.因为 SO底面圆 O，所以 SOAB，所以 SO平面 SAB，所以平面 SAB底面圆 O.这显然矛盾，所以假设不成立，故 AC 与平面 SOB 不垂直.B 能力提升11.若下列关于 x 的方程 x24ax 4a30（a 为常数） ， x2（a1）xa 20，x 22ax 2a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是（ ）A.( 32， 1)B. 1，）( ， 32C.（2，0）D. 0，）( ， 32解析：选 B.假设三个方程都没有实数根，则 解得 a1，16a2

11、16a 12 0，（a 1）2 4a2 0，4a2 8a 0， ) 32故三个方程 x2 4ax4a3 0，x 2（a1）xa 20， x22ax2a0 至少有一个方程有实根时，实数 a 的取值范围为 a 或 a1.3212.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀” “合格” “不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A.2 人 B.3 人C.4 人 D.5 人解析：选 B.假设满足条件的学生有

12、 4 位及 4 位以上，则可知 4 位学生中必有两位语文成绩一样，且这两位同学数学成绩不同，那么两个人中会有一个人的成绩比另一个人好.这与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾，故排除 C，D.假设满足条件的学生有 3 位，用 a，b，c 表示“优秀” “合格” “不合格” ，用“（语，数） ”来表示某学生的成绩，则满足题意的 3 位学生的成绩为（a，c） ， （c，a） ， （b，b） ，所以最多有 3 人.13.已知二次函数 f（x ）ax 2bxc（a0）的图象与 x 轴有两个不同的交点.若f（c）0，且 0xc 时 f（ x）0.（1）证明： 是函数 f（x ）的一个零点；

13、1a（2）试用反证法证明： c.1a证明：（1）因为 f（x ）的图象与 x 轴有两个不同的交点，所以 f（x）0 有两个不等实根 x1，x 2.因为 f（c）0 ，所以 x1c 是 f（x）0 的一个根，又因为 x1x2 .ca所以 x2 ，所以 是 f（x）0 的另一个根，即 是函数 f（x）的一个零点.1a(1ac) 1a 1a（2）由第一问知 c，故假设 c ，1a 1a易知 0，由题知当 0xc 时，f （x）0，1a所以 f 0 与 f 0 矛盾，(1a) (1a)所以 c.1a14.（选做题）设a n是公比为 q 的等比数列.（1）推导a n的前 n 项和公式；（2）设 q1，证

14、明数列a n 1不是等比数列.解：（1）设a n的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，S na 1a 1a 1na 1；当 q1 时，S na 1a 1qa 1q2a 1qn1 ，qSna 1qa 1q2a 1qn，由得， （1q）S na 1a 1qn，所以 Sn ，a1（1 qn）1 q综上所述，S n na1，q 1，a1（1 qn）1 q ，q1.)（2）证明：假设a n1是等比数列，则对任意的 kN *，（a k1 1） 2（ ak1） （a k2 1） ，a 2a k1 1a kak2 a ka k2 1，2k 1a q2k 2a1qk a1qk1 a1qk1 a 1qk1 a 1qk1 ，21因为 a10，所以 2qkq k1 q k1 .因为 q0，所以 q22q10，所以 q1，这与已知矛盾.所以假设不成立，故数列a n1 不是等比数列.