2019人教A版数学选修2-3学案:1.1(第1课时)分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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1、11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.通过实例,能总结出分类加法计数原理,分步乘法计数原理 2.正确地理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步” 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案” ,是指完成这件事的所有方法可以分为两类,即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务,两类中没有相同
2、的方法,且完成这件事的任何一种方法都在某一类中 2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤” ,是指完成这件事的任何一种方法,都需要分成两个步骤在每一个步骤中任取一种方法,然后相继完成这两个步骤就能完成这件事,即各个步骤是相互依存的,每个步骤都要做完才能完成这件事 判断正误(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同( )(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件
3、事( )(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )(4)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成( )答案:(1) (2) (3) (4)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,若要求从两类课程中选一门,则不同的选法共有( )A3 种 B4 种C7 种 D12 种答案:C已知 x2,3,7,y 31,24,4,则( x,y) 可表示不同的点的个数是( )A1 B3C6 D9答案:D某学生去书店,发现 2 本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有_种答案:3加工某
4、个零件分三道工序,第一道工序有 5 人可以选择,第二道工序有 6 人可以选择,第三道工序有 4 人可以选择,每两道工序中可供选择的人各不相同,如果从中选 3 人每人做一道工序,则选法有_种答案:120探究点 1 分类加法计数原理学生用书 P2在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【解】 法一:按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 分成 8 类,在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个由分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有 8765432136(个) 法二:按个位上的数字分别是 2,3,4,5,6,7
5、,8,9 分成 8 类,在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个由分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有 1234567836(个) 变问法 在本例条件下,个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个?解:当个位数字是 8 时,十位数字取 9,只有 1 个当个位数字是 6 时,十位数字可取 7,8,9,共 3 个当个位数字是 4 时,十位数字可取 5,6,7,8,9,共 5 个同理可知,当个位数字是 2 时,共 7 个,当个位数字是 0 时,共 9 个由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 1357925(个).利用分类加法计数原理
6、计数时的解题流程某校高三共有三个班,各班人数如下表:男生人数 女生人数 总人数高三(1)班 30 20 50高三(2)班 30 30 60高三(3)班 35 20 55(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2) 班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?解:(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席,共有 3 类不同的方案:第 1 类,从高三(1)班中选出 1 名学生,有 50 种不同的选法;第 2 类,从高三(2)班中选出 1 名学生,有 60 种不同的选法;第 3 类,从高三(3)班中选出 1 名学生
7、,有 55 种不同的选法 根据分类加法计数原理知,从三个班中选 1 名学生任学生会主席,共有506055165(种)不同的选法(2)从高三(1)班、(2) 班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,共有 3 类不同的方案:第 1 类,从高三(1)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法;第 2 类,从高三(2)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法;第 3 类,从高三(3)班女生中选出 1 名学生,有 20 种不同的选法 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,共有 30302080(种) 不
8、同的选法探究点 2 分步乘法计数原理学生用书 P2从2,1,0,1,2,3 这六个数字中任选 3 个不重复的数字作为二次函数yax 2bxc 的系数 a,b,c,则可以组成抛物线的条数为多少?【解】 由题意知 a 不能为 0,故 a 的值有 5 种选法;b 的值也有 5 种选法;c 的值有 4 种选法由分步乘法计数原理得:554100(条) 1变问法 若本例中的二次函数图象开口向下,则可以组成多少条抛物线?解:需分三步完成,第一步确定 a 有 2 种方法,第二步确定 b 有 5 种方法,第三步确定 c有 4 种方法,故可组成 25440 条抛物线2变条件、变问法若从本例的六个数字中选 2 个作
9、为椭圆 1 的参数 m,n,则可x2m y2n以组成椭圆的个数是多少?解:据条件知 m0,n0 ,且 mn,故需分两步完成,第一步确定 m,有 3 种方法,第二步确定 n,有 2 种方法,故确定椭圆的个数为 326(个) 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个?(1)三位数;(2)三位偶数解:(1)分三步:第 1 步,排个位,有 4 种方法;第 2 步,排十位,从剩下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法;第 3 步,排百位,从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法故共有 43224 个满足要求的三位数
10、(2)第 1 步,排个位,只能从 2,4 中选 1 个,有 2 种方法;第 2 步,排十位,从剩下的 3 个数中选 1 个,有 3 种方法;第 3 步,排百位,只能从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法故共有 23212 个满足要求的三位偶数探究点 3 两个计数原理的综合应用学生用书 P3甲同学有 5 本不同的数学书、4 本不同的物理书、3 本不同的化学书,现在乙同学向甲同学借书,(1)若借 1 本书,则有多少种借法?(2)若每科各借 1 本书,则有多少种借法?(3)若任借 2 本不同学科的书,则有多少种借法?【解】 (1)需完成的事情是“借 1 本书” ,所以借给乙数学、物理、化学
11、书中的任何 1 本,都可以完成这件事情根据分类加法计数原理,共有 54312 种借法(2)需完成的事情是“每科各借 1 本书” ,意味着要借给乙 3 本书,只有从数学、物理、化学三科中各借 1 本,才能完成这件事情根据分步乘法计数原理,共有 54360 种借法(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借 2 本不同学科的书 ”,可分三类:第 1 类,借 1 本数学书和 1 本物理书,只有 2 本书都借,事情才能完成,根据分步乘法计数原理,有 5420 种借法;第 2 类,借 1 本数学书和 1 本化学书,有 5315 种借法;第 3 类,借 1 本物理书和 1 本化学书,有 4312 种借法根据分
12、类加法计数原理,共有 20151247 种借法利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时,首先,要分清是“分类”还是“分步” ,区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情其次,要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类” 现有 3 名医生、5 名护士、2 名麻醉师(1)从中选派 1 名去参加外出学习,有多少种不同的选法?(2)从这些人中选出 1 名医生、1 名护士和 1 名麻醉师组成 1 个医疗小组,有多少种不
13、同的选法?解:(1)分三类:第一类,选出的是医生,有 3 种选法;第二类,选出的是护士,有 5 种选法;第三类,选出的是麻醉师,有 2 种选法根据分类加法计数原理,共有 35210(种) 选法(2)分三步:第一步,选 1 名医生,有 3 种选法;第二步,选 1 名护士,有 5 种选法;第三步,选 1 名麻醉师,有 2 种选法根据分步乘法计数原理知,共有 35230(种) 选法1某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有 5 名同学只会用综合法证明,有 3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选 1 名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )A8 B15C18 D30解析:选 A.共有 5
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