2019人教A版数学选修2-3学案：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

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1、13.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质 2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数 相等(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上 ”两个数的和，即 C Crn 1C r 1n rn2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab) n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C C ，C C ，C C .0n n 1n n 1n rn n rn(2)增减性与最大值：当 k0，设第 r1 项系数最大则 ，化简可得 r .8m 1m 1 9mm

2、 1由于只有第 6 项和第 7 项系数最大，所以 即48m 1m 1 5，6 9mm 17. ) 54m 2，2 m72. )所以 m 只能等于 2.B 能力提升11若(12x) 2 017a 0a 1xa 2 017x2 017(xR )，则 的值为( )a12 a222 a2 01722 017A2 B0C2 D1解析：选 D.(1 2x)2 017a 0a 1xa 2 017x2 017，令 x ，则(12 )2 01712 12a 0 0，a12 a222 a2 01722 017其中 a01，所以 1.a12 a222 a2 01722 01712(2018合肥模拟)48 7 被 7

3、 除的余数为 a(0a7)，则 的展开式中 x3 的系数为( )(x ax2)6 A4 320 B4 320C20 D20解析：选 B.因为 487(491) 7C 497C 496C 491，所以 487 被 7 除的余数为07 17 676，所以 a6.所以 的展开式的通项为 Tr1 C (6) rx63r ，令 63r3，得(x 6x2)6 r6r3，所以 的展开式中 x3 的系数为 C (6) 34 320.(x 6x2)6 3613已知(x 3x 2)n 的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大 992.23 (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：

4、(1)令 x1，则展开式中各项系数的和为(13) n2 2n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以 22n2 n992，解得 n5，所以展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以 T3C (x )3(3x2)290x 6，2523 T4C (x )2(3x2)3270x .3523 223 (2)设展开式中第 r1 项系数最大 ，则 Tr1 C (x )5r (3x2)r3 rC x ，r523 r510 4r3 所以 r ，又 rN，所以 r4.72 92即展开式中第 5 项系数最大，T5C (x )(3x2)4405 .4523 263 14(选做题) 在杨辉三角中，除每行的

5、两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示(1)利用杨辉三角展开(1x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是 345?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是 1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和 ”，可写出第 6 行的二项式系数为 1，6，15，20，15，6，1，所以(ab)6a 66a 5b15a 4b220a 3b315a 2b46ab 5b 6.令 a1，bx，得(1 x) 616x15x 220x 315x 4 6x5x 6.(2)设在第 n 行出现的三个相邻的数的比是 345，并设这三个数分别是 C ，C ，Ck 1n kn，k 1n则有所以34 n！（k 1）！ （n 1 k）！ k！ （n k）！n！ ，45 n！k！ （n k）！ （k 1）！ （n 1 k）！n！ ， )所以 即34 kn 1 k，45 k 1n k， ) 3n 7k 3，4n 9k 5， )所以 n 62，k 27， )即在第 62 行会出现 C C C 345.2662 2762 2862