2019人教A版数学选修2-3学案:2.3.1离散型随机变量的均值
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1、23 离散型随机变量的均值与方差23.1 离散型随机变量的均值1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值 2.理解离散型随机变量均值的性质3会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值水平,解决一些相关的实际问题1离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义:一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn则称 E(X)x 1p1x 2p2x ipix npn 为随机变量 X 的均值或数学期望(2)意义:离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的 平均水平(3)性质:如果 X 为离散型随机变量,则
2、YaXb( 其中 a,b 为常数)也是随机变量,且E(Y)E(aX b)aE(X ) B随机变量的均值与样本平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是 一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近总体的均值2两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)p(p 为成功概率) (2)若 X B(n,p),则 E(X)np判断正误(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量,其随 X 的变化而变化( )(2)随机变量的均值与样本的平均值相同( )(3
3、)若随机变量 X 的数学期望 E(X)2,则 E(2X)4.( )答案:(1) (2) (3) 若 XB ,则 E(X)的值为( )(4, 12)A4 B2C1 D.12答案:B随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 0.2 0.5 m则 X 的均值是( )A2 B2.1C2.3 D随 m 的变化而变化答案:B设 X 的分布列为X 1 2 3 4P 16 16 13 13,Y2X5,则 E(Y)_答案:323探究点 1 求离散型随机变量的均值赌博有陷阱某种赌博每局的规则是赌客先在标记有 1,2,3,4,5 的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元) ;随后放回该卡片,再随机摸
4、取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位:元) 若随机变量 1 和 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 E(1)E (2) _元【解析】 赌金的分布列为1 1 2 3 4 5P 15 15 15 15 15所以 E(1) (12345)3.15奖金的分布列为2 1.4 2.8 4.2 5.6P2531015110所以 E(2)1.4 2.8.(251 3102 153 1104)E(1)E( 2)0.2.【答案】 0.2求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值:根据随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值 (2)求概率:求 X 取每个值的概率(3
5、)写分布列:写出 X 的分布列 (4)求均值:由均值的定义求出 E(X),其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在1.(2018广东广州模拟) 已知某一随机变量 的分布列如下表所示,若 E()6.3,则 a 的值为( ) a 7 9P b 0.1 0.4A.4 B5C6 D 7解析:选 A.根据随机变量 的分布列可知 b0.10.4 1,所以 b0.5.又 E()ab70.190.46.3,所以 a4.2某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 ),设某天开始营业时有该商品 3 件,当天
6、营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率;(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期望解:(1)P( 当天商店不进货)P(当天商店销售量为 0 件) P(当天商店销售量为 1 件) 120 .520 310(2)由题意知 X 的可能取值为 2,3,P(X2) P(当天商品销售量为 1 件) ,520 14P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P( 当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3件) .120 920 520 34故 X 的分布列为X 2 3P 14 34所以 X
7、 的数学期望为 E(X)2 3 .14 34 114探究点 2 离散型随机变量均值的性质已知随机变量 X 的分布列为:X 2 1 0 1 2P 14 13 15 m 120(1)求 E(X);(2)若 Y2X3,求 E(Y)【解】 (1)由随机变量分布列的性质,得 m 1,解得 m ,14 13 15 120 16所以 E(X)(2) (1) 0 1 2 .14 13 15 16 120 1730(2)法一:由公式 E(aXb)aE(X)b,得E(Y)E(2 X3)2E(X )32( )3 .1730 6215法二:由于 Y2X3,所以 Y 的分布列如下:Y 7 5 3 1 1P 14 13
8、15 16 120所以 E(Y)( 7) (5) ( 3) ( 1) 1 .14 13 15 16 120 6215变问法 本例条件不变,若 aX3,且 E() ,求 a 的值112解:E( )E( aX3)aE(X) 3 a3 ,1730 112所以 a15. 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量 与 X 的关系为 aXb,a,b 为常数一般思路是先求出 E(X),再利用公式 E(aXb)aE(X) b 求 E()也可以利用 X 的分布列得到 的分布列,关键由 X的取值计算 的取值,对应的概率相等,再由定义法求得 E() 已知随机变量 的分布列为 1 0 1P 12 13
9、m若 a3,E( ) ,则 a( )73A1 B2C3 D 4解析:选 B.由分布列的性质得 m1,所以 m ,12 13 16所以 E()1 0 1 ,12 13 16 13法一:E( )E(a3)aE ()3 a3 .13 73所以 a2.法二:因为 a3,所以 的分布列如下: a3 3 a3P 12 13 16E()( a3) 3 (a3) .12 13 16 73所以 a2.探究点 3 两点分布与二项分布的均值某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费 500 元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为 ,若中奖,商场返还顾客现金 100 元某顾客现购买价格为 2 12300
10、元的台式电脑一台,得到抽奖券四张每次抽奖互不影响(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 X,求随机变量 X 的分布列;(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 Y(元),用 X 表示 Y,并求随机变量 Y 的均值.【解】 (1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的,因此 XB .(4, 12)所以 P(X0)C ,P(X1) C .04 (12)4116 14 (12)414P(X2)C ,P(X 3) C ,24 (12)438 34 (12)414P(X4)C .4 (12)4116所以离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116(2)因为 XB ,所
11、以 E(X)4 2.(4, 12) 12又由题意可知 Y2 300100X,所以 E(Y)E (2 300100X)2 300100E (X)2 30010022 100(元) 即所求随机变量 Y 的均值为 2 100 元(1)如果随机变量 X 服从两点分布,则其期望值 E(X)p(p 为成功概率) (2)如果随机变量 X 服从二项分布,即 XB(n,p) ,则 E(X)np.以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程 某广场上有 4 盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是 ,出现绿灯的概率都是 .记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 ,当这
12、4 盏23 13装饰灯闪烁一次时:(1)求 2 时的概率;(2)求 的数学期望解:(1)依题意知:2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时,恰好有 2 盏灯出现红灯,而每盏灯出现红灯的概率都是 ,故 2 时的概率 PC ( )2( )2 .23 2423 13 827(2)法一: 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,依题意知:P( k)C ( )k( )k423 134k (k0,1,2,3,4)所以 的概率分布列为 0 1 2 3 4P 181 881 2481 3281 1681所以 E()0 1 2 3 4 .181 881 2481 3281 1681 83法二:因为 服从二项分布,即 B(
13、4, ),23所以 E()4 .23 83探究点 4 均值问题的实际应用(2016高考全国卷) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求
14、X 的分布列;(2)若要求 P(Xn)0.5,确定 n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n 19 与 n20 之中选其一,应选用哪个?【解】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,1 台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X16)0.20.20.04;P(X17)20.20.40.16 ;P(X18)20.20.20.4 0.40.24;P(X19)20.20.22 0.40.20.24;P(X20)20.20.40.2 0.20.2;P(X21)20.20.20.08 ;P(X22)0.20.2
15、0.04.所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知 P(X18)0.44,P(X19) 0.68,故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位:元 )当 n19 时,E(Y)192000.68(19200500) 0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当 n20 时,E(Y)202000.88(20200500) 0.08(202002500) 0.044 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小
16、于当 n20 时所需费用的期望值,故应选 n19.(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计 (2)概率模型的解答步骤审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些;确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值;对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得23 25分每人有且只有一次抽奖机会,每
17、次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X3 的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解:(1)由已知得小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响,记23 25“这 2 人的累计得分 X3”为事件 A,则事件 A 的对立事件为“X5” ,因为 P(X5) ,23 25 415所以 P(A)1P(X5) .1115所以这两人的累计得分 X3 的概率为 .1115(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1,都选择方
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