2019人教A版数学选修2-3学案:2.2.2事件的相互独立性
《2019人教A版数学选修2-3学案:2.2.2事件的相互独立性》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019人教A版数学选修2-3学案:2.2.2事件的相互独立性(16页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、22.2 事件的相互独立性1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念2能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题1相互独立的概念设 A,B 为两个事件,若 P(AB)P( A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立2相互独立的性质若事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立注意 事件 A,B 相互独立的充要条件是 P(AB)P(A) P(B)(1)充分性:由定义知 P(AB)P(A)P(B) 时,事件 A,B 相互独立 (2)必要性:由 A,B 相互独立得 P(B|A)P( B),所以 P(AB)P( A)P(B|A)P (A)P
2、(B)判断正误(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立( )(2)必然事件与任何一个事件相互独立( )(3)“P(AB)P(A)P(B)”是“事件 A,B 相互独立”的充要条件 ( )答案:(1) (2) (3) 若事件 E 与 F 相互独立,且 P(E)P( F) ,则 P(EF) 的值等于( )14A0 B. C. D.116 14 12答案:B下列事件 A,B 是相互独立事件的是( )A一枚硬币掷两次,A 表示 “第一次为正面” ,B 表示“第二次为反面”B袋中有 2 个白球,2 个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A 表示“第一次摸到白球” ,B 表示
3、“第二次摸到白球”C掷一枚骰子,A 表示“出现点数为奇数 ”,B 表示“出现点数为偶数”DA 表示“一个灯泡能用 1 000 小时” ,B 表示“一个灯泡能用 2 000 小时”答案:A探究点 1 相互独立事件的判断判断下列各对事件,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?(1)掷一枚骰子一次,事件 M:“出现的点数为奇数” ,事件 N:“出现的点数为偶数” ;(2)掷一枚骰子一次,事件 A:“出现偶数点” ;事件 B: “出现 3 点或 6 点” ;(3)袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件 M:“第一次摸到白球” ,事件 N:“第二次摸到白球 ”【解】 (1
4、)二者不可能同时发生,所以 M 与 N 是互斥事件 (2)基本事件 1,2,3,4 ,5,6,事件 A2 ,4 ,6,事件 B 3,6 ,事件 AB6 , P(A) ,P (B) ,12 13P(AB) ,即 P(AB)P(A) P(B),16 12 13故事件 A 与事件 B 相互独立,A,B 不是互斥事件(3)事件 M 是否发生对事件 N 发生的概率没有影响,故 M 与 N 是相互独立事件判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质,直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断 ,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;(2)定义法:通过式子 P(AB)P(A)P( B)来判
5、断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B 相互独立,这是定量判断. 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 A一个家庭中既有男孩又有女孩, B 一个家庭中最多有一个女孩 对下述两种情形,讨论 A与 B 的独立性:(1)家庭中有两个小孩(2)家庭中有三个小孩解:(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为 (男,男) ,(男,女),( 女,男),(女,女),它有 4 个基本事件,由等可能性知概率都为 .14这时 A(男,女),(女,男) ,B(男,男) ,(男,女),(女,男),AB( 男,女),(女,男) ,于是 P(A) ,P(B) ,P(AB) .12 34 12由
6、此可知 P(AB)P(A )P(B),所以事件 A,B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男,男,男) ,(男,男,女),(男,女,男) ,(男,女,女),(女,男,男) ,(女,男,女) ,(女,女,男),( 女,女,女)由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ,这时 A 中含有 6 个基本事件,B 中含有 4 个基18本事件,AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A) ,P(B) ,P(AB) ,68 34 48 12 38显然有 P(AB) P(A )P(B)成立38从而事件 A 与 B 是相互独立的探究点 2 相互独立事件同时发生的概率甲、乙 2
7、个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 和 ,求:13 14(1)2 个人都译出密码的概率;(2)2 个人都译不出密码的概率;(3)至多 1 个人译出密码的概率【解】 记“甲独立地译出密码”为事件 A, “乙独立地译出密码“为事件 B,A 与 B 为相互独立事件,且 P(A) ,P( B) .13 14(1)“2 个人都译出密码”的概率为:P(AB)P( A)P(B) .13 14 112(2)“2 个人都译不出密码”的概率为:P( )P ( )P( )1P( A)1P(B) (1 )(1 ) .A B A B 13 14 12(3)“至多 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人
8、都译出密码 ”,所以至多 1 个人译出密码的概率为:1P(AB)1P(A )P(B)1 .13 14 1112变问法 在本例条件下,求:(1)恰有 1 个人译出密码的概率;(2)至少 1 个人译出密码的概率解:(1)“恰有 1 个人译出密码”可以分为两类,即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出 ,且两个事件为互斥事件,所以恰有 1 个人译出密码的概率为:P(A B)P(A )P( B)B A B A P(A )P( ) P( )P(B)B A (1 )(1 ) .13 14 13 14 512(2)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出密码 ”,所以至少 1 个人译出密码的概率为
9、:1P( )1 P( )P( )1 .A B A B 23 34 12相互独立事件概率的求解方法(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:确定各事件是相互独立的;确定各事件会同时发生;先求每个事件发生的概率,再求其积(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形,还要注意互斥事件的拆分,以及对立事件概率的求法,即三个公式的联用:P(AB)P(A)P (B)(A,B 互斥) ,P(A)1P( A),P(AB )P(A) P(B)(A,B 相互独立) 某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 m 跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称
10、为合格) 的概率分别为 ,若对这三名短跑运动员的253413100 m 跑的成绩进行一次检测,则(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大解:记“甲、乙、丙三人 100 m 跑成绩合格”分别为事件 A,B,C,显然事件 A,B,C相互独立,则 P(A) ,P(B) ,P(C) .25 34 13设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k0,1,2,3) ,(1)三人都合格的概率:P3P( ABC)P(A )P(B)P(C) .25 34 13 110(2)三人都不合格的概率:P0P( A B C)P(A )P(B)P(C) .35 14 23 110(3)恰有两人
11、合格的概率:P2P( AB C)P(A BC)P(ABC) .25 34 23 25 14 13 35 34 13 2360恰有一人合格的概率:P11P 0P 2P 31 .110 2360 110 2560 512综合(1)(2)(3)可知 P1 最大所以出现恰有 1 人合格的概率最大探究点 3 相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有
12、偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列【解】 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ,B 表示事件 “观众乙选中 3 号歌手” ,则 P(A) ,23P(B) .35因为事件 A 与 B 相互独立,所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B)P(A )P(B)P(A )1P(B) .23 25 415(或 P(A B) )415(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手” ,则 P(C) ,35因为 X 可
13、能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X0) P(A B C) ,13 25 25 475P(X1)P(A )P( B )P(A BC ) ,B C A C 23 25 25 13 35 25 13 25 35 2075P(X2)P(A B C)P( BC)P(A C)A B ,23 35 25 13 35 35 23 25 35 3375P(X3)P(ABC) ,23 35 35 1875所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 475 2075 3375 1875概率问题中的数学思想(1)正难则反灵活应用对立事件的概率关系( P(A)P( A)1)简化问题,是求解概率问题
14、最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率, 即寻找所求事件与已知事件之间的关系 “所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件) (3)方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系, 建立方程( 组),通过解方程(组) 使问题获解一个箱子中原来装有大小相同的 5 个小球,其中 3 个红球,2 个白球,规定:进行一次操作是指“从箱子中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱子中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱子中” (1)求进行第二次操作后,箱子中红球个数为 4 的概率;(2)求进行第二次操作
15、后,箱子中红球个数 的分布列解:(1)进行第二次操作后,箱子中红球个数为 4 的对应事件为两次操作恰好一次白球一次红球,所以概率为:P .35 25 25 45 1425(2)由题意进行第二次操作后,箱子中红球个数 的可能取值为 3,4,5,P(3) ,35 35 925P(4) ,35 25 25 45 1425P(5) ,25 15 225所以箱子中红球个数 的分布列为: 3 4 5P 925 1425 2251(2018云南曲靖一中期中) 某人提出一个问题,甲先答,答对的概率为 0.4,如果甲答错,由乙答,答对的概率为 0.5,则问题由乙答对的概率为( )A0.2 B0.8 C0.4 D
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019 人教 数学 选修 2.2 事件 相互 独立性
链接地址:https://www.77wenku.com/p-76666.html