2019人教A版数学选修2-3学案：第二章随机变量及其分布复习提升课

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1、章末复习提升课, 超几何分布问题展示 (选修 23 P50 习题 2.1B 组 T1)老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让同学背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率【解】 (1)他能背诵的课文的数量 X 的可能取值为 0，1 ，2，3，则 P(X0) ，130P(X1) ，310P(X2) ，12P(X3) ，16所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 130 310 12 16(2)他能及格的概率为 P(X2)P(X3) .12 16 23某位同学记住了 10 个数学公式中的 m 个( m1

2、0) ，从这 10 个公式中随机抽取 3 个，若他记住 2 个的概率为 .12(1)求 m 的值；(2)分别求他记住的数学公式的个数 X 与没记住的数学公式的个数 Y 的数学期望 E(X)与 E(Y)，比较 E(X)与 E(Y)的关系，并加以说明【解】 (1)P(X2) ，12即 m(m 1)(10m)120，且 m2.因为 120251245635824152230.而 m 与 m1 一定是相邻正整数所以 或m 1 4，m 5，10 m 6) m 1 5，m 6，10 m 4)解得 m6.(2)由原问题知，E(X)0 1 2 3 ，130 310 12 16 95没记住的数学公式有 1064

3、 个，故 Y 的可能取值为 0，1，2，3.P(Y0) ，16P(Y1) ，12P(Y2) ，310P(Y3) ，130所以 Y 的分布列为Y 0 1 2 3P 16 12 310 130E(Y)0 1 2 3 ，16 12 310 130 65由 E(X) ，E(Y) 得出95 65E(X )E(Y) 说明记住公式个数的期望值大于没记住公式个数的期望值E(X )E(Y) 3.说明记住和没记住的期望值之和等于随机抽取公式的个数 3.二项分布问题展示 (选修 23 P59 习题 2.2B 组 T1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4，那么采用 3 局 2 胜

4、制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？【解】 每局比赛只有两个结果，甲胜或乙胜，且每局比赛胜负是相互独立的，所以甲胜的局数 X 服从二项分布，即 XB(n，p)当采用 3 局 2 胜制时，XB(3，0.6) ，则 P(X2)P(X2) P(X3)C 0.620.4C 0.630.648.23 3当采用 5 局 3 胜制时，XB(5，0.6) ，则 P(X3)P(X3) P(X4) P(X5)C 0.630.42C 0.640.4C 0.650.683.35 45 5显然 0.6480.683，所以采用 5 局 3 胜制对甲更有利从而说明了“比赛总局数越多，甲获胜的

5、概率越大” 对比赛局制长短的认识：比赛的公平性：局数不能过多或过少，过多对甲有利，过少对乙有利；在实际比赛中，应根据计算出的概率结果，对赛制“n 局 胜”的 n 值给予确定n 12甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为 p，乙获胜的概率为 1p，采用了“3 局 2胜制”(这里指最多比赛 3 局，先胜 2 局者为胜，比赛结束) 若仅比赛 2 局就结束的概率为 .1325(1)求 p 的值；(2)若采用“5 局 3 胜制”(这里指最多比赛 5 局，先胜 3 局者为胜，比赛结束)，求比赛局数 X 的分布列和数学期望【解】 (1)仅比赛 2 局就结束，即为甲连胜 2 局或乙连胜 2 局，所以 pp(

6、1 p)(1p) ，1325即 25p225p60，解得 p 或 p .35 25(2)当 p 时，即甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 1 .35 35 35 25X 的可能取值为 3，4，5.P(X3) ，(35)3(25)335125P(X4)C C ，23(35)22535 23(25)23525 234625P(X5)C C ，24(35)2(25)235 24(25)2(35)225 216625所以 X 的分布列为X 3 4 5P 35125 234625 216625所以 E(X)3 4 5 4.35125 234625 216625 2 541625当 p 时，25结论与 p 相同

7、35相互独立事件及概率问题展示 (选修 23 P55 练习 T3)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率【解】 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则 P(A)0.2，P(B) 0.3.(1)甲、乙两地都降雨为事件 AB，P(AB) P (A)P(B)0.2 0.30.06.(2)甲、乙两地都不降雨为事件 ，P( )P( )P( )(1 0.2)(10.3)A B A B A B 0.80.70.5

8、6.(3)至少有一个地方降雨为(AB) ( B)(A )，A B 所以 P(AB)( B)(A )P (AB)P( B)P(A )A B A B P(A )P(B)P( )P(B)P(A)P( )A B 0.20.3(10.2)0.30.2(10.3) 0.44.或 P(AB)( B)(A )1P ( )10.560.44.A B A B 天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为 ，至少有一个地方降雨的概率为 ，已16 23知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；(2)在甲、乙两地 3 天假期中，仅有一地降雨的天数为 X，求

9、X 的分布列和数学期望与方差【解】 (1)设甲、乙两地降雨的事件分别为 A，B，且 P(A)x，P( B)y.由题意得 ，xy 161 （1 x）（1 y） 23x y )解得x 12，y 13.)所以甲地降雨的概率为 ，乙地降雨的概率为 .12 13(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为 PP(A )P( B)P(A) P( )P( )P(B)B A B A .12 23 12 13 12X 的可能取值为 0，1，2，3.P(X0)C ，03(12)318P(X1)C ，13(12)1(112)238P(X2)C ，23(12)2(112) 38P(X3)C ，3(1 12)3 18所以

10、 X 的分布列为X 0 1 2 3P 18 38 38 18所以 E(X)0 1 2 3 .18 38 38 18 32方差 D(X) .18 (0 32)238 (1 32)238 (2 32)218 (3 32)234正态分布问题展示 (选修 23 P75 习题 2.4 A 组 T2)商场经营的某种包装的大米质量 (单位：kg)服从正态分布 N(10，0.1 2)，任选一袋这种大米，质量在 9.810.2 kg 的概率是多少？【解】 设该种包装的大米质量为 X，则 XN (10，0.1 2)，其中 10， 0.1，所以 P(9.8X10.2)P(1020.1X1020.1) 0.954 5

11、.为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取 100 袋作为样本，称其质量为质量kg9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8合计包数1 1 3 5 6 19 34 18 3 4 2 1 2 1 100经计算：样本的平均值 10.10，标准差 0.21.(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其质量为 X(kg)，并根据以下不等式进行评判P(X )0.682 7；P(2X 2)0.954 5；P(3X 3)0.997 3；若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，

12、则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足则为丁级请判断该设备的等级(2)将质量小于或等于 2 与质量大于 2 的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取 5 袋大米，求其中不合格包装袋数 Y 的数学期望 E(Y)【解】 (1)由题意得P( X )P(9.89 X10.31) 0.80.682 7，80100P(2X 2)P(9.68X10.52) 0.940.954 5，94100P(3X 3)P(9.47X10.73) 0.990.997 3，99100所以该生产设备为丙级(2)由表知，不合格的包装共有 6 袋，则从设备的生产线上随机抽取一袋不合格的概率 P ，6100 350

13、由题意 Y 服从二项分布，即 YB ，(5，350)所以 E(Y)5 0.3.3501某人忘记一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )A. B.110 210C. D.810 910解析：选 A.电话号码的最后一个数可能是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为 .910 19 1102有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X 表示取到次品的件数，则 D(X)( )A. B.35 1115C. D.1415 2875解析：选 D.X 的所有可能取值是 0，1，2.则 P(X0) ，

14、P(X1)715 ，P(X 2) .所以 X 的分布列为715 115X 0 1 2P 715 715 115于是 E(X)0 1 2 ，E (X2)0 1 4 ，所以 D(X)715 715 115 35 715 715 115 1115E(X 2)(E( X)2 .1115 (35)228753某省试验中学高三共有学生 600 人，一次数学考试的成绩 (试卷满分为 150 分) 服从正态分布 N(100， 2)，统计结果显示学生考试成绩在 80 分到 100 分之间的人数约占总人数的，则此次考试成绩不低于 120 分的学生有_人13解析：因为数学考试成绩 N (100， 2)，作出正态分布

15、图像 (图略)，可以看出，图像关于直线 x100 对称显然 P(80100)P(100 120) ，所以 P(80)13P( 120)又因为 P(80)P(120) 1P(80 100)P(100120) ，所以13P(120) .所以成绩不低于 120 分的学生约为 600 100(人)12 13 16 16答案：1004生产 A，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82为次品现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标 70，76) 76，82) 82，88) 88，94) 94，100元件 A 8 12 40 32 8元件

16、 B 7 18 40 29 6(1)试分别估计元件 A，元件 B 为正品的概率；(2)生产一件元件 A，若是正品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件元件 B，若是正品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在(1)的前提下，记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望；求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率解：(1)元件 A 为正品的概率约为 .40 32 8100 45元件 B 为正品的概率约为 .40 29 6100 34(2)因为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 可以分为四种情况： A

17、正 B 正，A 次 B 正，A 正 B次，A 次 B 次所以随机变量 X 的所有取值为 90，45，30，15.因为 P(X90) ；45 34 35P(X45) ；(1 45) 34 320P(X30) ；45 (1 34) 15P(X15) .(1 45) (1 34) 120所以随机变量 X 的分布列为X 90 45 30 15P 35 320 15 120E(X)90 45 30 (15) 66.35 320 15 120设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件，则次品有(5n) 件依题意得 50n10(5n)140，解得 n .196所以 n4 或 n5.设“生产 5 件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A，则 P(A)C .45(34)414 (34)581128