2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：3_8正弦定理和余弦定理的应用

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1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 259 页)A 组 基础对点练1(2017宁夏银川一中月考)如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45 ，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( A )A50 m B50 m2 3C25 m D m225222.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30 ，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( C )A240( 1)m B180( 1)m3 2C120( 1)m D30( 1)m3 33(2018呼和浩特二模

2、 )为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理 A，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站 M 只能建在 B 村的西偏北方向，要求与 A 村相距 5 km，且与 C 村相距 km，已知 B 村在 A 村的正东方向，相距 3 31km，C 村在 B 村的正北方向，相距 3 km，则垃圾处理站 M 与 B 村相距( C )3A2 km B5 kmC7 km D8 km解析：以 A 为原点，以 AB 为 x 轴建立平面坐标系 (图略)，则 A(0,0)，B(3,0)，C(3,3 )，以 A 为圆心，以 5 为半径作圆 A，以

3、C 为圆心，以 为半径作圆3 31C，则圆 A 的方程为 x2y 225，圆 C 的方程为(x 3) 2(y3 )231，即 x2y 26x 6 y50，3 3两圆的公共弦方程为 x y5，3设 M(x，y)，则Error!解得 M(5,0)或 M .( 52，532)垃圾处理站 M 只能建在 B 村的西偏北方向，M .( 52，532)MB 7.故选 C.1214 7544(2018荆州一模 )某商船在海上遭海盗袭扰，商船正以 15 海里/ 小时的速度沿北偏东 15方向行驶，此时在其南偏东 45方向，相距 20 海里处的海军舰艇接到命令，需要在 80 分钟内(含 80 分钟)追上商船为其护航

4、为完成任务，海军舰艇速度的最小值为 15 (海里/小时)3解析：设追上处为 C，海军舰艇为 A，B 为商船，由条件知ABC120 ，AB20 海里，设海军舰艇速度的最小值为 x，可得 BC15 20，AC x，8060 43由余弦定理 AC2AB 2BC 22AB BCcosABC.得220 220 222020cos 120，解得 x15 ，故海军舰艇速度的最小值(43x) 3为 15 .35如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为 1 000 米解析：由题图知BAS4530 15，ABS4515 30

5、，ASB135，在ABS 中，由正弦定理可得 ，AB1 000 ，BC 1 1 000sin 30 ABsin 135 2 AB2000.6如图，在ABC 中，ABC90，AB ，BC1，P 为ABC 内一点，3BPC90.(1)若 PB ，求 PA；12(2)若APB 150，求 tanPBA.解析：(1)由已知得 PBC60，所以 PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA23 2 cos 30 .故 PA .14 3 12 74 72(2)设PBA ，由已知得 PBsin .在PBA 中，由正弦定理得 ， ，3sin 150 sin sin30 化简得 cos 4sin .3所以 ta

6、n ，即 tanPBA .34 34B 组 能力提升练1(2017武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为 ( B )A14 h B15 hC16 h D17 h2(2018镇海区校级模拟)帕普斯(Pappus) 是古希腊数学家，34 世纪人，伟大的几何学家，著有数学汇编 此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料如图 1，图 2，利用帕

7、普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是( C )Asin()sin cos cos sin Bsin( )sin cos cos sin Ccos( )cos cos sin sin Dcos()cos cos sin sin 解析：结合图形可证明的数学公式为 cos()cos cos sin sin ，故选 C.3(2017北京朝阳区质检)如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔AA1 和 BB1.已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰角是从塔 BB1 的底部看塔AA1 顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余

8、角则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为 ；塔 BB1 的高为 1345 m.解析：设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ，则 AA160tan ，BB 160tan 2.从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1， ，AA130 30BB1AA1BB1900 ，3 600tan tan 2900，tan ，tan 2 ，BB 160tan 245.13 344(2018全国二模 )如图，测量对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得BCD15，CBD30，CD 10 (米)，并2在 C 处测得塔顶 A

9、 的仰角为 45，则塔高 AB 20 米解析：BCD 中，BCD15， CBD30，CD10 (米) ，2 ，CDsin CBD CBsin CDB ，102sin 30 CBsin180 15 30CB20 20.Rt ABC 中，ACB45 ，222塔高 ABBC20(米)5如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD 100 m.6解析：依题意，BAC 30 ，ABC105.在ABC 中，由ABCBACACB 180，所以ACB4

10、5，因为 AB600 m由正弦定理可得 ，即 BC300 m在 RtBCD 中，因为CBD30 ，600sin 45 BCsin 30 2BC300 m，所以 tan 30 ，所以 CD100 m.2CDBC CD3002 66如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABAD ，ABC120，ACD60 ，AD27 ，设ACB，点 C 到 AD 的距离为 h.(1)用 表示 h 的解析式；(2)求 ABBC 的最大值解析：(1)由已知得 ADC360(90120 60 )90 .在ACD 中， 由正弦定理得 ，ADsinACD ACsinADC所以 AC 18 cos .27cos sin 60

11、3又 CAD30 ，且 060，所以 hACsinCAD18 cos sin(30)(0 60)3(2)在ABC 中 ，由正弦定理得 AB 18sin 2，ACsin sin 120BC 36cos sin(60)9 9 cos 29sin 2，ACsin60 sin 120 3 3于是 ABBC9 9 cos 29sin 2 9 18sin(2 60) 3 3 3因为 060，所以当 15时，ABBC 取得最大值 9 18.37(2018南通模拟 )如图，某机械厂欲从 AB2 米，AD2 米的矩形铁皮中2裁剪出一个四边形 ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点 E，F 分别在边 BC

12、，AD 上，且 EB EF，AFBE.设BEF ，四边形 ABEF 的面积为f()(单位：平方米 )(1)求 f()关于 的函数关系式，并写出定义域；(2)当 BE，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形 ABEF 的面积最小，并求出最小值解析：(1)如图所示，过点 F 作 FMBE，垂足为 M.在 RtFME 中，MF 2， EMF ，FEM，所以 EF ，ME ，2 2sin 2tan 故 AFBMEF ME ，2sin 2tan 所以 f() (AFBE) AB12 2 .12 ( 2sin 2tan 2sin ) 4sin 2tan 据题意，AFBE ，所以 .且当点 E 重合于点 C 时

13、，2EFEB2 ，FM 2， .24所以函数 f() ，其定义域为 .4sin 2tan 4，2)(2)由(1)可知，f() 4sin 2tan 4(sin22 cos22)2sin2cos22(1 tan22)2tan23tan 2 2 ，当且仅当 3tan 时，取“” 2 1tan2 3tan21tan2 3 21tan2又 ， ，故 tan ，4，2) 2 8，4) 2 33所以 ， .2 6 3此时 BE ，AF .2sin 433 2sin 2tan 2338(2017武汉联考 )如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有(其 中 B 2，AB a

14、，BC 3a)公共绿地走道 MN，且两边是两个关于走道 MN 对称的三角形(AMN和AMN) ，现考虑方便和绿地最大化原则，要求点 M 与点 B 不重合，A落在边 BC 上，设AMN.(1)若 时，绿地“最美” ，求最美绿地的面积；3(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将 AN，AN 设计为最短，求此时绿地公共走道的长度解析：(1)设 MAMAxa(0 x1)，则 MBaxa ，又 ，所以在 Rt3MBA中，cosBMA cos(2 ) ，解得 x .a xaxa 12 23由 B ，ABa，BC a，可得BAC .2 3 3所以AMN 为等边三角形，所以绿地的面积 S2 a asin a2.12 23 23 3 239(2)在AMN 中，因为 MAN ，所以 ANM ，由正弦定理得 3 23 ANsin .AMsin(23 )设 AMy，则 AM y，在 RtMBA中，cos BMAcos( 2 ) ，可得 AMy ，a yy a2sin2所以 AN .a2sin sin(23 )令 t2sin sin sin 2 sin cos sin 2 cos 2 sin(23 ) 3 12 32 12 12，(2 6)因为 ，所以 2 ，4 2 3 656所以当且仅当 2 ，即 时，AN 取得最小值，为 a，6 2 3 23此时绿地公共走道的长度为 MN a.23