2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：6_5数学归纳法

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1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 285 页)A 组 基础对点练1(2018商丘期末 )用数学归纳法证明：( n1)(n2) (nn)2 n13(2n1)时，从“k 到 k1”左边需增加的代数式是 (k1)(k 2)(kk)(4k1) 解析：从“k 到 k1”左边需增加的代数式是： (k2)(k3)(kk )(k1k)(k 1k1)(k1)(k2)(k k)(k 2)(k3)(kk)(k1k )(k 1k1)(k1)(k1)(k2) (kk )(4k1)2(2018杭州期末 )设正项数列a n的前 n 项和为 Sn，若a11,2S na nan1 (nN *)(1)求 a2，a 3 以及数

2、列 an的通项公式；(2)设 bn2 an，数列b n的前 n 项和为 Tn.求 Tn；证明： 2T n(nN *)1S1 1S2 1Sn解析：(1)a 11,2S na nan1 ，2a 1a 1a2，即 a22，2(a 1a 2)a 2a3，即 a33.猜想 ann，证明如下：当 n1 时，显然成立，假设当 nk 时成立，即 akk，则 Sk .kk 12那么当 nk 1 时，a k1 k 1，2Skak kk 1k故 nk1 时也成立，由可得 ann 对于 nN *都成立，数列a n的通项公式为 ann.(2)易知 bn n，(12)T n 1 .12(1 12n)1 12 12n由(1

3、)可知 Sn ，nn 12 2 ，1Sn 2nn 1 (1n 1n 1) 1S1 1S2 1Sn2 (1 12 12 13 13 14 1n 1n 1)2 .(1 1n 1)要证明 2T n，1S1 1S2 1Sn只要证明 2 2 ，只要证 ，只要证 n12 n，(1 1n 1) (1 12n) 1n 1 12n当 n1 时，不等式显然成立，假设当 nk 时，不等式成立，即 k12 k，那么当 nk 1 时，k 2 k112 k12 k1 ，即当 nk 1 时不等式成立，由可得 n12 n对于 nN *都成立，故 2T n(nN *)1S1 1S2 1Sn3函数 f(x)ln(x1) (a1)

4、axx a(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 a11， an1 ln(a n 1)，证明： 0，f(x)在(1，a 22a)上是增函数；若 x(a 22a,0)，则 f(x)0，f( x)在(0，)上是增函数当 a2 时，f(x )0，当且仅当 x0 时，f( x)0 成立，f (x)在(1，)上是增函数当 a2 时，若 x( 1,0)，则 f(x)0 ，f(x)在(1，0)上是增函数；若 x(0，a 22a)，则 f (x)0，f( x)在(a 22a，)上是增函数(2)证明：由(1)知，当 a 2 时，f(x)在(1，)上是增函数当 x(0，)时，f(x)f(0) 0，即 ln(x1)

5、 (x0)2xx 2又由(1)知，当 a3 时，f(x )在0,3)上是减函数当 x(0,3)时，f(x)ln .(2k 2 1)2 2k 22k 2 2 2k 3ak 1 ln(ak1)ln .1an 1S1 1S2 1Sn nn 1解析：(1)证明： an1 ，an2an 1 ，化简得 2 ，1an 1 2an 1an 1an 1 1an即 2，故数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列1an 1 1an 1an(2)由(1)知 2n1，S n n 2.1an n1 2n 12法一 1S1 1S2 1Sn 112 122 1n2 112 123 1nn 1 1 .(1 12) (12

6、13) (1n 1n 1) 1n 1 nn 1法二 (数学归纳法) 当 n1 时， 1， ，不等式成立1S1 nn 1 12假设当 nk 时，不等式成立，即 .1S1 1S2 1Sk kk 1则当 nk1 时， ，1S1 1S2 1Sk 1Sk 1 kk 1 1k 12又 1 1 kk 1 1k 12 k 1k 2 1k 1 1k 12 1k 2 1k 2 kk 120，1k 2k 12 ，1S1 1S2 1Sk 1Sk 1k 1k 2原不等式成立3设函数 f(x)x 2mln(x1)(1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数，求实数 m 的取值范围；(2)若 m1 ，试比较当 x(0，)时，

7、f(x)与 x3 的大小；(3)证明：对任意的正整数 n，不等式 e0e 14 e29 e(1n)n 2成立nn 32解析：(1)f(x )2x ，又函数 f(x)在定义域上是单调函数，mx 1 2x2 2x mx 1f(x)0 或 f( x)0 在 (1，)上恒成立若 f( x)0 在(1， )上恒成立，即函数 f(x)是定义域上的单调递增函数，则 m2x 2 2x2 2 在(1，)上恒成立，由此可得 m ；(x 12) 12 12若 f( x)0 在(1， )上恒成立，即函数 f(x)是定义域上的单调递减函数，则 m2x 2 2x2 2 在(1，)上恒成立(x 12) 12y2 2 在(1

8、 ，)上没有最小值，(x 12) 12不存在实数 m 使 f( x)0 在(1，) 上恒成立综上所述，实数 m 的取值范围是 .12， )(2)当 m1 时，函数 f(x)x 2ln(x1) 令 g(x)f(x) x 3x 3 x2ln(x1)，则 g(x) 3x 22x ，1x 1 3x3 x 12x 1显然，当 x (0，)时，g(x)0 ，函数 g(x)在(0 ，)上单调递减又 g(0)0， 当 x(0 ， ) 时，恒有 g(x)g(0)0，即 f(x)x 30 恒成立故当 x(0，)时，f(x)x 3.(3)证明：当 n1 时，左边e 01，右边 2，原不等式成立142设当 nk 时，原不等式成立，即 e0e 14 e 29 e(1k) k2 ， kk 32则当 nk1 时，左边e 0e 14 e 29 e(1k) k2e(1k 1)(k1)2 ek( k1) 2，kk 32只需证明 e k(k1) 2 ， kk 32 k 1k 42即证 ek(k1) 2k2，即证k(k1) 2ln(k2)由(2)知 x2x 3ln(x1)(x(0，) ，即 x2(1x)ln(x 1)，令 xk1，即有k(k1) 2ln(k2)，当 n k1 时不等式成立由知，原不等式成立