2019年广东省汕头市高考数学一模理科试卷(a卷)含答案解析
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1、2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科) (A 卷)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Ax|log 2x0,B x|x2,则 AB( )A x|x2 Bx|0x2 C x|0x2 D x|1x22 (5 分)已知 aR,i 是虚数单位,复数 ,若 ,则 a( )A0 B2 C2 D13 (5 分)已知离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P m则 X 的数学期望 E(X )( )A B1 C D24 (5 分)已知向量 ,若 ,则向量与向量
2、的夹角为( )A B C D5 (5 分)动圆的圆心在抛物线 y28x 上,且动圆恒与直线 x+20 相切,则动圆必经过定点( )A (4,0) B (2,0) C (0,2) D (0,2)6 (5 分)将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数yg(x )的图象,则 g(x)在 上的最小值为( )A1 B C D07 (5 分)将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分发宜传资料,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为( )A B C D8 (5 分)在正方体 ABCDA 1B
3、1C1D1 中,点 O 是四边形 ABCD 的中心,关于直线 A1O,第 2 页(共 27 页)下列说法正确的是( )AA 1OD 1C BA 1OBCCA 1O平面 B1CD1 DA 1O平面 AB1D19 (5 分)若函数 f(x )e x(cos xa)在区间 上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )A B (1,+) C1 ,+) D10 (5 分)过双曲线 1(a0,b0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,与双曲线的渐进线交于 C,D 两点,若|AB| |CD|,则双曲线离心率的取值范围为( )A ,+ ) B ,+)
4、C (1, D (1, 11 (5 分)三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABC 30,APC 的面积为 2,则三棱锥 P ABC 的外接球体积的最小值为( )A B C64 D412 (5 分)定义在 上的函数 f(x ) ,满足 ,且当 时,f(x)lnx,若函数 g(x)f (x)ax 在 上有零点,则实数 a 的取值范围是( )A B ln,0 C D二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 z4x+y 的最大值为 14 (5 分)已知 ,则 cos2
5、 15 (5 分)在(1ax+x 2) 5 的展开式中,x 3 的系数为 30,则实数 a 的值为 16 (5 分)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a1,且(bc2)cosA+ac cosB1 b2,则ABC 面积的最大值为 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考第 3 页(共 27 页)题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且
6、 2Snna n+2an1(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列 的前 n 项和为 Tn,证明:T n418 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PA菱形 ABCD 所在的平面,ABC60,E 是 BC 中点,F 是 PC 上的点(1)求证:平面 AEF平面 PAD;(2)若 M 是 PD 的中点,当 ABAP 时,是否存在点 F,使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为 ?若存在,请求出 的值,若不存在,请说明理由19 (12 分)我市南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营
7、养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布N(32,16) (1)购买 10 只该基地的“南澳牡蛎” ,会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大?(2)2019 年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量 x(人)与年收益增量 y(万元)的数据如下:人工投入增量 x(人) 2 3 4 6 8 10 13年收益增量 y(万元) 13 22 31 42 50 56 58该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量,建立了 y 与 x 的两个回归模型:第 4 页(共 27 页)模型 :由最
8、小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程: ;模型 :由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线: 的附近,对人工投入增量 x 做变换,令 ,则 ybt +a,且有(i)根据所给的统计量,求模型 中 y 关于 x 的回归方程(精确到 0.1) ;(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数 R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量回归模型 模型 模型回归方程182.4 79.2附:若随机变量 ZN ( , 2) ,则 P(3Z +3)0.9974,0.9987 100.9871;样本(t i,y i) ( i1,2,n)的最小二乘估计公
9、式为:,第 5 页(共 27 页)另,刻画回归效果的相关指数20 (12 分)已知椭圆 C: (ab0)的左右焦点分别为 F1,F 2,离心率为 ,点 A 在椭圆 C 上,|AF 1|2,F 1AF260,过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C交于 P, Q 两点()求椭圆 C 的方程;()若 P,Q 的中点为 N,在线段 OF2 上是否存在点 M(m,0) ,使得 MNPQ?若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由21 (12 分)已知 f(x ) (a0) (1)讨论 f(x )的单调性;(2)若 f(x)存在 3 个零点,求实数 a 的取值范围(二)选考题:共(10 分
10、) 请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所作的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数,a0) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为 (1)设 P 是曲线 C 上的一个动点,若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 ,求 a 的值;(2)若曲线 C 上任意一点( x,y)都满足 y|x |+2,求 a 的取值范围选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|2x +k|+|x2|(k R) (1)若 k4,求不等式 f(x)x 22x4 的解集;(2)设
11、k4,当 x1, 2时都有 f(x)x 22x+4 ,求 k 的取值范围第 6 页(共 27 页)2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科) (A 卷)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Ax|log 2x0,B x|x2,则 AB( )A x|x2 Bx|0x2 C x|0x2 D x|1x2【分析】可解出集合 A,然后进行交集的运算即可【解答】解:Ax| x1,Bx|x2;ABx|1 x2故选:D【点评】考查描述法的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算2
12、(5 分)已知 aR,i 是虚数单位,复数 ,若 ,则 a( )A0 B2 C2 D1【分析】利用商的模等于模的商列式求解 a 的值【解答】解:复数 ,且 , ,即 ,则 a0故选:A【点评】本题考查复数模的求法,是基础的计算题3 (5 分)已知离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P m则 X 的数学期望 E(X )( )A B1 C D2【分析】利用分布列求出 m,然后求解期望即可【解答】解:由题意可得: + +m+ 1第 7 页(共 27 页)可得 m E(X) 1故选:B【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查转化思想以及计算能力4
13、(5 分)已知向量 ,若 ,则向量与向量 的夹角为( )A B C D【分析】由向量共线的坐标运算得: ,所以 33(3k) ,即 k2,即(2,2) ,由向量的数量积得:( 24+(2)40,即( ,故向量 与向量 的夹角为 ,得解【解答】解:由 ,得: (3k,3) ,又 ,所以 33(3k) ,即 k2,即 (2,2) ,又 (4,4) ,所以( 24+(2)40,所以( ,故向量 与向量 的夹角为 ,故选:D【点评】本题考查了向量共线的坐标运算及向量的数量积及其夹角,属简单题5 (5 分)动圆的圆心在抛物线 y28x 上,且动圆恒与直线 x+20 相切,则动圆必经过定点(
14、 )A (4,0) B (2,0) C (0,2) D (0,2)【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程,根据动圆恒与直线 x+20 相切,而 x+20 为准线方程,利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点第 8 页(共 27 页)【解答】解:由抛物线 y28x,得到准线方程为 x+20,焦点坐标为( 2,0) ,动圆的圆心在抛物线 y28x 上,且动圆恒与直线 x+2 0 相切,动圆必经过定点(2,0) 故选:B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,以及抛物线的简单性质,熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键6 (5 分)将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数y
15、g(x )的图象,则 g(x)在 上的最小值为( )A1 B C D0【分析】利用函数 yA sin( x+)的图象变换规律得到 g(x )的解析式,再根据正弦函数的定义域和值域,求得 g(x)在 上的最小值【解答】解:将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 yg(x )sin(2x + )sin(2x )的图象,在 上,2x , ,故当 2x 时,函数取得最小值为1,故选:A【点评】本题主要考查函数 yAsin ( x+)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于基础题7 (5 分)将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分
16、发宜传资料,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为( )A B C D【分析】推导出基本事件总数 n 20,甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数:m 9,由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率【解答】解:将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,第 9 页(共 27 页)其中一组指挥交通,一组分发宜传资料,基本事件总数 n 20,甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数:m 9 ,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为 p 故选:C【点评】本题考查概率的求法
17、,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8 (5 分)在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,点 O 是四边形 ABCD 的中心,关于直线 A1O,下列说法正确的是( )AA 1OD 1C BA 1OBCCA 1O平面 B1CD1 DA 1O平面 AB1D1【分析】推导出 A1DB 1C,ODB 1D1,从而平面 A1DO平面 B1CD1,由此能得到A1O平面 B1CD1【解答】解:在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,点 O 是四边形 ABCD 的中心,A 1DB 1C,ODB 1D1,A 1DDO D,B 1D1B 1CB 1,平面 A1DO平面 B
18、1CD1,A 1O平面 A1DO,A 1O平面 B1CD1故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础第 10 页(共 27 页)知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题9 (5 分)若函数 f(x )e x(cos xa)在区间 上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )A B (1,+) C1 ,+) D【分析】求出函数的导数,问题转化为 acosxsinx,x ,令 h(x)cosx sinx sin( x) ,x ,根据三角函数的性质求出 a 的范围即可【解答】解:f(x )e x(cos xsin xa) ,若 f(x)在
19、区间 上单调递减,则 cosx sinxa0 区间 上恒成立,即 acosxsinx ,x ,令 h(x)cosxsinx sin( x) ,x ,故 x( , ) ,故 sin( x )的最大值是 1,此时 x ,即 x ,故 h(x)的最大值是 ,故 a ,故选:D【点评】本题考查了三角函数的性质,考查函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道中档题10 (5 分)过双曲线 1(a0,b0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,与双曲线的渐进线交于 C,D 两点,若|AB| |CD|,则双曲线离心率的取值范围为( )A ,+ ) B ,+) C (1, D
20、(1, 【分析】将 xc 代入 1 和 y x,求出 A, B,C ,D 的坐标,由两点之第 11 页(共 27 页)间的距离公式求得|AB|,| CD|,由| AB| |CD|,求得 a 和 c 的关系,根据离心率公式,即可求得离心率的取值范围【解答】解:当 xc 时代入 1 得 y ,则 A(c , ) ,B(c, ) ,则 AB ,将 xc 代入 y x 得 y ,则 C(c, ) ,D ( c, ) ,则|CD| ,|AB| |CD| ,即 b c,则 b2 c2c 2a 2,即 c2a 2,则 e2 ,则 e ,故选:B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据方程求出交点坐标,结
21、合距离公式进行求解是解决本题的关键,属于中档题11 (5 分)三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABC 30,APC 的面积为 2,则三棱锥 P ABC 的外接球体积的最小值为( )A B C64 D4【分析】由题意画出图形,设 ACx ,由APC 的面积为 2,得 PA ,再由ABC30,得三角形 ABC 外接圆的半径 rx,求出球心到平面 ABC 的距离,再由勾股定理可得外接球的半径,利用基本不等式求得最小值,代入球的体积公式求解【解答】解:如图,设 AC x,由APC 的面积为 2,得 PA ,ABC30,三角形 ABC 外接圆的半径 rx,PA平面 ABC,PA ,第
22、 12 页(共 27 页)O 到平面 ABC 的距离为 d PA ,设球 O 的半径为 R,则 R ,当且仅当 时“”成立三棱锥 PABC 的外接球体积的最小值为 故选:A【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系,考查正弦定理的应用,属于中档题12 (5 分)定义在 上的函数 f(x ) ,满足 ,且当 时,f(x)lnx,若函数 g(x)f (x)ax 在 上有零点,则实数 a 的取值范围是( )A B ln,0 C D【分析】由题意,找出 x(1,的解析式,画出 f(x)定义在 上的图形,利用直线 yax 与 f(x)的交点个数得到 a 的范围【解答】解:因为当 时,f(x )ln
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