湖南省张家界市2019年中考数学真题试题（含解析）

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1、12019 年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于 2019 年 6 月 1 日起，对原产于美国的 600 亿美元进口商品加征关税，其中 600 亿美元用科学记数法表示为（ ）美元A610 10 B0.610 10 C610 9 D0.610 93 （3 分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不

2、是中心对称图形的是（ ）A BC D4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A a2a3 a6 B a2+a3 a5C （ a+b） 2 a2+b2 D （ a3） 2 a65 （3 分）下列说法正确的是（ ）A打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B天气预报说“明天的降水概率为 65%”，意味着明天一定下雨C两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D数据 5，6，7，7，8 的中位数与众数均为 76 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A B2C D7 （3 分）如图，在 ABC 中， C90， AC8， DC AD， BD 平分 ABC，则点 D 到 AB的距离等于（ ）A4 B3

3、 C2 D18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（ ）A （，） B （1，0） C （，） D （0，1）二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）9 （3 分）因式分解： x2y y 10 （3 分）已知直线 a b，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图所示方式放置（ BAC30） ，并且顶点 A， C 分别落在直线 a， b 上，若118，则2 的度数

4、是 11 （3 分）为了建设“书香校园” ，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班 40名学生的捐书情况：捐书（本） 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书 本312 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在反比例函数 y的图象上，已知菱形的周长是 8， COA60，则 k 的值是 13 （3 分） 田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何” 意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与

5、宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步14 （3 分）如图：正方形 ABCD 的边长为 1，点 E， F 分别为 BC， CD 边的中点，连接AE， BF 交于点 P，连接 PD，则 tan APD 三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 58 分请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15 （5 分）计算：（3.14） 0+| 1|2cos45+（1） 201916 （5 分）先化简，再求值：（1） ，然后从 0，1，2 三个数中选择一个恰当的数代入求值17 （5 分）如图，在平行四边形 A

6、BCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE AB，连接 DE，分别交 BC， AC 交于点 F， G（1）求证： BF CF；（2）若 BC6， DG4，求 FG 的长418 （6 分）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵 30 元，乙种树苗每棵 20 元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的 2 倍少 40 棵，购买两种树苗的总金额为9000 元（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共 10 棵，总费用不超过 230 元，求可能的购买方案？19 （6 分）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一

7、个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an所以，数列的一般形式可以写成：a1， a2， a3， an，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中 a11， a23，公差为 d2根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列 5，10，15，的公差 d 为 ，第 5 项是 （2）如果一个数列 a1， a2， a3， an，是等差数列，且公差为 d，那么根据

8、定义可得到： a2 a1 d， a3 a2 d， a4 a3 d， an an1 d，所以a2 a1+da3 a2+d（ a1+d）+ d a1+2d，a4 a3+d（ a1+2d）+ d a1+3d，由此，请你填空完成等差数列的通项公式： an a1+（ ） d（3）4041 是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？520 （6 分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区在一次检修维护中，检修人员从索道 A 处开始，沿 A B C 路线对索道进行检修维护如图：已知AB500 米， BC800 米， AB 与水平线 AA1的夹角是 30， BC 与水平线 BB1的夹角

9、是60求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度 CA1是多少米？（结果精确到 1 米，参考数据： 1.732）21 （7 分）如图， AB 为 O 的直径，且 AB4 ，点 C 是 上的一动点（不与 A， B 重合），过点 B 作 O 的切线交 AC 的延长线于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 EC（1）求证： EC 是 O 的切线；（2）当 D30时，求阴影部分面积22 （8 分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“ A：文明礼仪， B：生态环境， C：交通安全， D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生

10、进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图（1）本次随机调查的学生人数是 人；6（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中， “B”所在扇形的圆心角等于 度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率23 （10 分）已知抛物线 y ax2+bx+c（ a0）过点 A（1，0） ， B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C， OC3（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）过点 A 作 AM BC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM 为正方形；（3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当 PBC

11、 面积最大时，求点 P 的坐标；（4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问： AQ+QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由72019 年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【解答】解：2019 的相反数是2019故选： B2 【解答】解：600 亿610 10故选： A3 【解答】解： A、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形故正确；D、是轴对称图形，也是中心

12、对称图形故错误故选： C4 【解答】解： a2a3 a2+3 a5； A 错误；a2+a3 a2+a3； B 错误；（ a+b） 2 a2+b2+2ab； C 错误；（ a3） 2 a32 a6； D 正确；故选： D5 【解答】解： A打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故 A 错误；B天气预报说“明天的降水概率为 65%”，意味着明天可能下雨，故 B 错误；C两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故 C 错误；D，数据 5，6，7，7，8 的中位数与众数均为 7，正确故选： D6 【解答】解：解不等式 2x20，得： x1，则不等式组的解集为1 x1，故选： B7 【解答】解：

13、如图，过点 D 作 DE AB 于 E， AC8， DC AD， CD82，8 C90， BD 平分 ABC， DE CD2，即点 D 到 AB 的距离为 2故选： C8 【解答】解：四边形 OABC 是正方形，且 OA1， A（0，1） ，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1， A1（， ） ， A2（1，0） ， A3（，） ，发现是 8 次一循环，所以 20198252余 3，点 A2019的坐标为（，）故选： A二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）9 【解答】解：原式 y（ x21） y（ x+1） （ x1） ，故答

14、案为： y（ x+1） （ x1） 10 【解答】解： a b，21+ CAB18+3048，故答案为：4811 【解答】解：该班学生平均每人捐书6（本） ，故答案为：612 【解答】解：过点 C 作 CD OA，垂足为 D， COA609 OCD906030又菱形 OABC 的周长是 8， OC OA AB BC2，在 Rt COD 中， OD OC1， CD ， C（1， ） ，把 C（1， ）代入反比例函数 y得： k1 ，故答案为： 13 【解答】解：设长为 x 步，宽为（60 x）步，x（60 x）864，解得， x136， x224（舍去） ，当 x36 时，60 x24，长比宽多

15、：362412（步） ，故答案为：1214 【解答】解：连接 AF， E， F 分别是正方形 ABCD 边 BC， CD 的中点， CF BE， ，在 ABE 和 BCF 中，Rt ABERt BCF（ SAS） ， BAE CBF，又 BAE+ BEA90， CBF+ BEA90，10 BPE APF90， ADF90， ADF+ APF180， A、 P、 F、 D 四点共圆， AFD APD，tan APDtan AFD2，故答案为：2三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 58 分请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域

16、的作答无效）15 【解答】解：（3.14） 0+| 1|2cos45+（1） 20191+ 1211；16 【解答】解：原式（），当 x0 时，原式117 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD CD， AD BC， EBF EAD， BF AD BC， BF CF；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，11 AD CD， FGC DGA，即，解得， FG218 【解答】解：（1）设购买甲种树苗 x 棵，购买乙种树苗（2 x40）棵，由题意可得，30 x+20（2 x40）9000，50x9800，x196，购买甲种树苗 196 棵，乙种树苗 352 棵；（2）设购买

17、甲树苗 y 棵，乙树苗（10 y）棵，根据题意可得，30 y+20（10 y）230，10y30， y3；购买方案 1：购买甲树苗 3 棵，乙树苗 7 棵；购买方案 2：购买甲树苗 2 棵，乙树苗 8 棵；购买方案 3：购买甲树苗 1 棵，乙树苗 9 棵；购买方案 4：购买甲树苗 0 棵，乙树苗 10 棵；19 【解答】解：（1）根据题意得， d1055； a315，a4 a3+d15+520，a5 a4+d20+525，故答案为：5；25（2） a2 a1+da3 a2+d（ a1+d）+ d a1+2d，a4 a3+d（ a1+2d）+ d a1+3d， an a1+（ n1） d故答案为

18、： n112（3）根据题意得，等差数列5，7，9的项的通项公式为： an52（ n1） ，则52（ n1）4041，解之得： n20194041 是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第 2019 项20 【解答】解：如图，过点 B 作 BH AA1于点 H在 Rt ABH 中， AB500， BAH30， BH AB（米） ， A1B1 BH250（米） ，在 Rt BB1C 中， BC800， CBB160， ， B1C400 ，检修人员上升的垂直高度 CA1 CB1+A1B1400 +250943（米）答：检修人员上升的垂直高度 CA1为 943 米21 【解答】解：（1）如图，连接 B

19、C， OC， OE， AB 为 O 的直径， ACB90，在 Rt BDC 中， BE ED， DE EC BE， OC OB， OE OE，13 OCE OBE（ SSS） ， OCE OBE， BD 是 O 的切线， ABD90， OCE ABD90， OC 为半径， EC 是 O 的切线；（2） OA OB， BE DE， AD OE， D OEB， D30， OEB30， EOB60， BOC120， AB4 ， OB2 ， 四边形 OBEC 的面积为 2S OBE212 ，阴影部分面积为 S 四边形 OBEC S 扇形 BOC12 12 422 【解答】解：（1）本次随机调查的学生人

20、数1525%60 人；故答案为：60；（2）601518918（人） ，补全条形统计图如图 1 所示：（3）在扇形统计图中， “B”所在扇形的圆心角360108，故答案为：108；（4）画树状图如图 2 所示：共有 16 个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有 4 个，小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率1423 【解答】解：（1）函数的表达式为： y a（ x1） （ x3） a（ x24 x+3） ，即：3 a3，解得： a1，故抛物线的表达式为： y x24 x+3，则顶点 D（2，1） ；（2） OB OC4， OBC OCB45，AM MB ABsin45 AD

21、BD，则四边形 ADBM 为菱形，而 AMB90，四边形 ADBM 为正方形；（3）将点 B、 C 的坐标代入一次函数表达式： y mx+n 并解得：直线 BC 的表达式为： y x+3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，设点 P（ x， x24 x+3） ，则点 H（ x， x+3） ，则 S PBC PHOB（ x+3 x2+4x3）（ x2+3x） ，0，故 S PBC有最大值，此时 x，故点 P（，） ；（4）存在，理由：15如上图，过点 C 作与 y 轴夹角为 30的直线 CH，过点 A 作 AH CH，垂足为 H，则 HQ CQ，AQ+QC 最小值 AQ+HQ AH，直线 HC 所在表达式中的 k 值为 ，直线 HC 的表达式为： y x+3则直线 AH 所在表达式中的 k 值为，则直线 AH 的表达式为： y x+s，将点 A 的坐标代入上式并解得：则直线 AH 的表达式为： y x+，联立并解得： x，故点 H（， ） ，而点 A（1，0） ，则 AH，即： AQ+QC 的最小值为