2019年人教B版数学必修3学案：3.1.4概率的加法公式

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1、3.1.4 概率的加法公式学习目标：1.理解互斥事件、对立事件的概念，会判断具体问题中的互斥与对立事件(重点、难点、易混点)2.会用互斥事件的概率公式求概率(重点)3.会用对立事件的概率公式求概率(重点)自 主 预 习探 新 知1事件的关系事件 定义 图形表示互斥事件在同一试验中，不可能同时发生的两个事件A 与 B 叫做互斥事件事件的并一般地，由事件 A 和 B 至少有一个发生(即 A发生，或 B 发生或 A，B 都发生) 所构成的事件 C，称为事件 A 与 B 的并(或和)，记作CAB AB互为对立事件在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件 A 的对立事件记

2、作 A A A思考：如果 A、B 是对立事件，那么它们是互斥事件吗？提示 是2互斥事件的概率加法公式(1)若 A，B 是互斥事件，则 P(AB)P(A )P(B)(2)若 是 A 的对立事件，则 P( )1P(A) A A(3)若 A1，A 2，A n两两互斥，则 P(A1A 2 An)P(A 1)P(A 2)P(A n)基础自测1思考辨析(1)互斥事件不一定是对立事件()(2)事件 A、B 互斥，则有 P(A)1P(B) ()(3)两个事件的和事件的概率等于它们各自的概率之和()2P(A) 0.1，P( B)0.2，则 P(AB )等于( )A0.3 B0.2C0.1 D不确定D 由于不能确

3、定 A 与 B 互斥，则 P(AB)的值不能确定 3一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为 0.25，则不中奖的概率为_065 中奖的概率为 0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为 10.350.65.4甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 0.2，两人下成和棋的概率为 0.4，则甲不输的概率是_06 若设甲获胜为事件 A，两人下成和棋为事件 B，则甲不输为 AB ，因为A、B 为互斥事件，故 P(AB)P(A)P (B)0.2 0.40.6.合 作 探 究攻 重 难互斥事件与对立事件的判定探究问题1事件 AB 中的基

4、本事件与事件 A、B 中的基本事件有什么关系？提示 事件 AB 是由事件 A 或事件 B 所包含的基本事件所组成的集合2事件 A、B 不可能同时发生时称其为互斥事件，如何从 A、B 所含的基本事件上理解“不可能同时发生”的含义？提示 事件 A、B 的基本事件中没有重复的 (没有交集)3在一次试验中，对立的两个事件会都不发生吗？它们的和事件是什么事件？提示 在一次试验中，事件 A 与它的对立事件只能发生其一，且必然发生其一，不能两个都不发生其和事件是必然事件某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1

5、)“恰有 1 名男生 ”与“恰有 2 名男生”；(2)“至少有 1 名男生”与“全是男生”；(3)“至少有 1 名男生”与“全是女生”；(4)“至少有一名男生 ”与“至少有一名女生”思路探究 紧扣互斥事件与对立事件的定义判断解 从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 人有如下三种结果：2 名男生，2 名女生，1 男 1 女(1)“恰有 1 名男生 ”指 1 男 1 女，与“恰有 2 名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是 2 名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件(2)“至少 1 名男生 ”包括 2 名男生和 1 男 1 女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，

6、所以它们不是互斥事件(3)“至少 1 名男生 ”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)“至少有 1 名女生”包括 1 男 1 女与 2 名女生两种结果，当选出的是 1 男 1女时，“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件母题探究：1.(已知事件求其互斥事件或对立事件)抽查 10 件产品，设事件 A：至少有两件次品，则 A 的对立事件为 ( )A至多两件次品 B至多一件次品C至多两件正品 D至少两件正品B “至少有两件次品 ”的否定是 “至多有一件次品”，故选 B.2(已知两事件判断是互斥事件或对立事件)把红

7、、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得 1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案都不对C “甲分得红牌” 与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件故选 C.规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法.1利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响.2利用集合观点,设事件 A

8、与 B 所含的结果组成的集合分别为 A，B .若事件 A 与 B 互斥，则集合 AB ；若事件 A 与 B 对立，则集合 AB 且 AB .互斥事件的概率盒子里装有 6 个红球，4 个白球，从中任取 3 个球设事件 A表示“3 个球中有 1 个红球，2 个白球”，事件 B 表示“3 个球中有 2个红球，1 个白球”已知 P(A) ，P(B) ，求 “3 个球中既有红310 12球又有白球”的概率.【导学号：31892025】思路探究 本题应先判断事件“3 个球中既有红球又有白球”所包含的结果是什么，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算解 记事件 C 为“3 个球中既有

9、红球又有白球”，则它包含事件 A“3 个球中有 1 个红球，2 个白球”，和事件 B“3 个球中有 2 个红球，1 个白球”，而且事件 A 和事件 B 是互斥的，所以P(C)P( A B)P(A )P(B) .310 12 45规律方法 1当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算2使用概率加法公式 P(AB )P(A)P(B )时，必须判断 A，B 是互斥事件跟踪训练1某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量(单位：mm)100,150) 150,200) 200,250) 250,300)概率 0.12 0.25 0.16 0.14(

10、1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的概率；(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率解 记这个地区的年降水量在100,150)(mm) 、150,200)(mm)、200,250)(mm)、250,300)(mm)范围内分别为事件 A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在100,200)(mm)范围内的概率是P(AB)P (A)P (B)0.12 0.250.37.(2)年降水量在150,300)(mm)范围内的概率是P(BCD)P(B )P(C)P(D)0.250.160.140.55.互斥事件和对立事件的概率某射手在一次

11、射击训练中，射中 10 环，9 环，8 环，7 环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中 10 环或 7 环的概率；(2)不够 7 环的概率思路探究 先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解解 (1)设“射中 10 环” 为事件 A，“射中 7 环”为事件 B，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件“射中 10 环或 7 环”的事件为 AB.故 P(AB) P(A)P (B) 0.210.280.49，射中 10 环或 7 环的概率为 0.49.(2)不够 7 环从正面考虑有以下几种情况：射中 6

12、 环，5 环，4 环，3 环，2 环，1 环，0 环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够 7 环的反面大于等于 7 环，即 7 环，8 环，9 环，10 环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理设“不够 7 环”为事件 E，则事件 为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10 环”，由E(1)可知“射中 7 环”、“射中 8 环”等彼此是互斥事件，P( )0.210.230.25 0.280.97，E从而 P(E)1P( )10.970.03，E不够 7 环的概率是 0.03.规律方法 1对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个

13、简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P( A1A 2A n)P(A 1)P( A2)P (An)其使用的前提条件仍然是 A1，A 2，A n彼此互斥故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥2“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求跟踪训练2甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，求：12 13(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率解 (1)“甲获胜”和“ 和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P1 .12 1

14、3 16(2)法一：设事件 A 为“甲不输 ”，可看成是“甲获胜 ”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(A) .16 12 23法二：设事件 A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜 ”的对立事件，所以 P(A)1 .13 23当 堂 达 标固 双 基1如果事件 A，B 互斥，记 ， 分别为事件 A，B 的对立事件，那么( )A B AA B 是必然事件B. 是必然事件A B C. 与 一定互斥A B D. 与 一定不互斥A B B 用集合的 Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示， 是必然事件A B 2(2018全国卷 )若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非

15、现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( )A0.3 B0.4 C0.6 D0.7B 设“只用现金支付 ”为事件 A，“既用现金支付也用非现金支付 ”为事件B，“不用现金支付” 为事件 C，则 P(C)1P(A)P (B)10.450.150.4.故选 B.3从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“ 至少有一个黑球”与“都是红球”C“ 至少 有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事

16、件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系4从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人去参加演讲比赛，所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 ，那么所选 3 人中都是男生的概率为_45设 A3 人中至少有 1 名女生，B3 人都为男生，则 A，B 为对立事件，15所以 P(B)1P( A) .155玻璃盒子里装有各色球 12 个，其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中任取 1球记事件 A 为“取出 1 个红球”，事件 B 为“取出 1 个黑球”，事件 C 为“取出 1 个白球”，事件 D 为“取出 1 个绿球”已知 P(A) ，P (B)512 ，P(C) ，P(D) .求：13 16 112(1)“取出 1 球为红球或黑球”的概率；(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率.【导学号：31892026】解 (1)“取出 1 球为红球或黑球 ”的概率为P(AB)P (A)P (B) .512 13 34(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC )P( A)P( B)P(C) 512 13 16 .1112