2019年人教B版数学选修2-1学案:2.2.1 椭圆的标准方程
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1、2.2.1 椭圆的标准方程学习目标:1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点 F1,F 2 的距离的和等于常数 (大于| F1F2|)的点的轨迹( 或集合 )叫做椭圆(2)相关概念:两个定点 F1,F 2 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 |F1F2|叫做椭圆的焦距思考 1:椭圆定义中,将“大于|F 1F2|”改为“等于|F 1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?提示 2
2、a 与 |F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表:条件 结论2a|F 1F2| 动点的轨迹是椭圆2a|F 1F2| 动点的轨迹是线段 F1F22a|F 1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0) (0, c)a,b,c 的关系 a2b 2c 2思考 2:确定椭圆标准方程需要知道哪些量?提示 a,b 的值及焦点所在的位置基础自测1思考辨析(1)平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆 1 的焦点坐标是(3,
3、0)( )x216 y225(3) 1(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2提示 (1) 2a|F 1F2|.(2) (0,3)(3) ab 0 时表示焦点在 y 轴上的椭圆2以下方程表示椭圆的是( )A 1 B2x 23y 22x225 y225C 2x23y 21 D 0x2n2 y2n2 2C A 中方程为圆的方程,B,D 中方程不是椭圆方程3以坐标轴为对称轴,两焦点的距离是 2,且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) 【导学号:33242112】A. 1 B. 1x25 y24 x23 y24C. 1 或 1 D. 1 或 1x25 y24 x23 y24 x29
4、 y24 x23 y24C 若椭圆的焦点在 x 轴上,则 c1,b2,得 a25,此时椭圆方程是 1;若焦点在 y 轴,则 a2,c1,则 b23,此时椭圆方程是x25 y24 1.x23 y24合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程:【导学号:33242113】(1)两个焦点的坐标分别为(4,0) 和(4,0),且椭圆经过点(5,0) ;(2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点 A( ,2)和点 B(2 ,1)3 3思路探究 求椭圆标准方程,先确定焦点位置,设出椭圆方程,再定量计算解 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,设它的标准
5、方程为 1(ab0)x2a2 y2b22a 10,a5.5 42 5 42又 c4,b 2a 2c 225 169.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上,设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由于椭圆经过点(0,2) 和(1,0),Error!Error!故所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)法一:当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2依题意有Error
6、!解得Error!因为 ab0,所以无解综上,所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25法二:设所求椭圆的方程为 mx2ny 21(m0,n 0,mn),依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25规律方法 确定椭圆方程的“定位” 与“定量”提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2By 21(A0,B 0,A B)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,2), (0,2),经过点(4,3 );2(2)经过两点(2, ), .2 ( 1,142)解 (1)法一:因为椭圆
7、的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知 2a 12,4 02 3r(2) 22 4 02 3r(2) 22所以 a6.又 c2,所以 b 4 .a2 c2 2所以椭圆的标准方程为 1.y236 x232法二:因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设其标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由题意得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 1.y236 x232(2)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24同理可得:
8、焦点在 y 轴上的椭圆不存在综上,所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二:设椭圆的一般方程为 Ax2By 21(A0,B0,A B)将两点(2 , ), 代入,2 ( 1,142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24与椭圆有关的轨迹问题如图 221,圆 C:(x 1) 2y 225 及点 A(1,0),Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,求点 M 的轨迹方程 . 【导学号:33242114】图 221解 由垂直平分线性质可知|MQ| MA|,|CM|MA| |CM|MQ| |CQ|.|CM|MA|5.M 点的轨迹为椭圆,其中 2a5,
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