2019年人教B版数学选修2-1学案：2.1.1 曲线与方程的概念

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1、2.1.1 曲线与方程的概念学习目标：1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法自 主 预 习探 新 知1曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程一个二元方程总可以通过移项写成 F(x，y)0 的形式，其中 F(x，y)是关于x，y 的解析式在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x，y )0 之间具有如下关系：曲线 C 上点的坐标都是方程 F

2、(x，y )0 的解；以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上那么，方程 F(x，y)0 叫做曲线的方程；曲线 C 叫做方程的曲线思考 1：如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”，会出现什么情况？举例说明提示 如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”，有可能扩大曲线的边界如方程 y 表示的曲线是半圆，1 x2而非整圆思考 2：如果曲线 C 的方程是 F(x，y )0，那么点 P(x0，y 0)在曲线 C 上的充要条件是什么？提示 若点 P 在曲线 C 上，则 F(x0，y 0)0；若 F(x0，y 0)

3、0，则点 P 在曲线 C 上，所以点 P(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是 F(x0，y 0)0.2两条曲线的交点坐标曲线 C1：F( x，y )0 和曲线 C2：G(x，y)0 的交点坐标为方程组Error!的实数解基础自测1思考辨析(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 y x.( )(2)方程 0 表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线( )x y(3)条件甲：“ 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解”，条件乙：“曲线 C 是方程 f(x，y ) 0 的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件( )提示 (1)(2) xy0 表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线(

4、3) 必要不充分条件2下列各组方程中表示相同曲线的是( )【导学号：33242091】Ax 2y0 与 xy0B. 0 与 x2y 20x yCylg x 2 与 y2lg xDxy0 与 ylg 10 x答案 D3如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )A B C D答案 D合 作 探 究攻 重 难曲线与方程的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程| x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy 0 之间的关系解 (1)过点 A(2,0)平行于

5、 y 轴的直线上的点的坐标都是方程 |x|2 的解；但以方程|x| 2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此，|x |2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5；但以方程 xy5 的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy 0；反之，以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy 0.规

6、律方法 解决“ 曲线”与“方程”的判定这类问题 (即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y )0 的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A方程 f(x，y )0 的曲线是 CB方程 f(x，y )0 的曲线不一定是 CCf(x，y) 0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x，y )0 的解为坐标的点都在曲线 C 上B “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y )0 的解”，但“以方程f(x，y)0

7、的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上，故 A、C、D 都不正确，B 正确2方程 4x2 y26x3y0 表示的图形是( )A直线 2x y0B直线 2xy 30C直线 2xy 0 或直线 2xy30D直线 2x y0 和直线 2xy30C 方程可化为(2 xy)(2xy 3)0，即 2xy0 或 2xy30.表示两条直线 2xy 0 或 2xy30.曲线与方程关系的应用已知方程 x2(y 1)210.(1)判断点 P(1，2)，Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；2(2)若点 M 在此方程表示的曲线上，求 m 的值. (m2， m)【导学号：33242092】解 (1)1 2(21) 210

8、，( )2(3 1) 2610，2点 P(1， 2)在方程 x2 (y1) 210 表示的曲线上，点 Q( ，3) 不在方程 x2( y1) 210 表示的曲线上2(2)点 M 在方程 x2(y1) 210 表示的曲线上，(m2， m)x ，ym 适合上述方程，m2即 (m1) 210，解之得 m2 或 m ，(m2)2 185m 的值为 2 或 .185规律方法 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题

9、.跟踪训练3若曲线 y2xy2xk0 过点(a，a)( aR)，求 k 的取值范围解 曲线 y2xy2x k0 过点(a，a)，a 2a 22ak 0.k2a 2 2a2 .(a 12)2 12k ，12k 的取值范围是 .( ，12由方程判断其表示的曲线探究问题如何证明已知曲线 C 的方程是 f(x，y )0?提示 用“ 曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线 C 的方程是 f(x，y )0，证明中分两个步骤：第一步，设 M(x0，y 0)是曲线 C 上任一点，证明( x0，y 0)是方程 f(x，y) 0 的解；第二步，设 (x0，y 0)是方程 f(x，y)0的任一解，证明点

10、M(x0，y 0)在曲线 C 上方程(2x 3y 5)( 1)0 表示的曲线是什么？ x 3【导学号：33242093】思路探究 将方程转化为Error!或 10，再判断曲线形状x 3解 因为(2x 3y5)( 1) 0，所以可得Error! 或者 10，x 3 x 3也就是 2x3 y50(x3)或者 x4，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x 3)和一条直线 x4.母题探究：1.(变换条件) 把方程换成“2 (2x3y5)0”，其表示什么曲线？解 由 2 (2x3y5)0 得 2x3y 50(x3)表示一条射线2(变换条件) 把方程换成“(2x 3y5)log 2(x2y )30”，

11、其表示什么曲线？解 由(2x 3y5)log 2(x2y)30 得Error!或者 x 2y8，也就是 2x3y50(x10)或者 x2y8，故方程表示的曲线为一条射线 2x3y 50(x10)(去除端点)和一条直线 x2y 8.规律方法 方程表示的曲线的判断步骤为：提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想当 堂 达 标固 双 基1方程 xy2x 2y2x 所表示的曲线( )A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D关于直线 x y0 对称C 将 (x，y)代入 xy2x 2y2x 方程不变，故

12、选 C.2若 P(2， 3)在曲线 x2ay 21 上，则 a 的值为( )【导学号：33242094】A2 B3 C. D12 13D 因为点 P(2，3)在曲线 x2ay 21 上，代入曲线方程可得 a ，故13选 D.3方程(x 24) 2(y 24) 20 表示的图形是_4 个点 由方程得Error!，表示四个点4方程 表示的曲线是_1 |x| 1 y两条线段 由已知得 1|x| 1y, 1y0，1|x| 0， y|x |，|x |1.曲线表示两条线段5如果方程 ax2by 24 的曲线过点 A(0，2)，B(1,0)，求 a，b 的值. 【导学号：33242095】解 由已知得 Error!解得 a4，b1.